34多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分(編輯修改稿)
2024-08-31 18:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??????)0,0()0,0(lim0 xxx ????????00)0(lim 220xxx ?????20lim xxx ????? 0li m (不存在 ) 同理 00????yxyz(不存在 ) ?連續(xù)曲面在 0M當 X 從任何方向 , 沿任何曲線趨于 X0時 , f (X)的極限都是 f (X0). )()(lim 00XfXfXX ??連續(xù)曲面在 0M?偏導數(shù)存在不連續(xù)曲面在 0M也可能偏導數(shù)存在,).,(),(),( yxfyxfyxfz yx ??? 的偏導數(shù)為設由于它們還是 x, y 的函數(shù) . 因此 , 可繼續(xù)討論 .),(),( 的偏導數(shù)yxfyxf yx ??二、高階偏導數(shù) ?????? ??????????? xfyyxfyx z xy ),(2?????? ?????????? xfxyxfx z xx ),(22設 ),( yxfz ? 在區(qū)域 D內(nèi)可偏導 ,若 ),( yxf x?),( yxf y? 偏導． ?????? ?????????? yfyyxfy z yy ),(22?????? ??????????? yfxyxfxy z yx ),(2注： （ 1）二元函數(shù)的二階導數(shù)一共有四個： 22xz??yxz???2xyz???222yz??二階混合偏導數(shù) 類似 , 可得三階 , 四階 , …, n 階偏導數(shù) . 則記可偏導若如 , : 22xz??,2233???????????????xzxxz .,2223等等????????????????xzyyx例 1. .,3si n 3322xzyxyxz?????? 求全部二階偏導和設解 : 12 2 ???? xyxz yyxyz cos2 2 ????2222 yx z ??? yxyz si n2 222????xyyx z 42???? xyxy z 42????033???xz 有什么關系？與觀察xyzyxz?????? 22. ,122xyzyxz???????有中在例若不是 , 那么滿足什么條件時 , 二階混合偏導數(shù)才相等呢 ? 問題 : 是否任何函數(shù)的二階混合偏導數(shù)都相等 ? 定理 1 若二階混合偏導數(shù)連續(xù)，則它們與 yxz???2xyz???2即 : ＝ 求導次序無關 . 例 2 求 )(s in 2 byaxz ?? 的二階偏導數(shù) xz??解 : )s i n (2 byax ?? )c os ( byax ?a? )(2s i n byaxa ??yz?? )s i n (2 byax ?? )c os ( byax ?b? )(2s in byaxb ??22xz?? )(2c os byaxa ?? a2? )(2c o s2 2 byaxa ??yxz???2 )(2c os byaxa ?? b2? )(2c os2 byaxab ??xyz???2 )(2c os byaxb ?? a2? )(2c os2 byaxab ??22yz?? )(2c os byaxb ?? b2? )(2c o s2 2 byaxb ??三 、 全微分的概念 復習一元函數(shù)的微分： )( xfy ? )()( 00 xfxxfy ??? ??)( xoxAy ??? ??xAdy ?? dyy ??xxfdy ?)( 0??dxxfdy )( 0??)( 0xfdxdy ??可導 微商 可微
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