倒數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)的概念(編輯修改稿)
2025-09-26 19:14 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x0 處取得極大 (或極小 )值 , 稱(chēng) 點(diǎn) x0 值 , 極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn) . 為極大 (或極小）值點(diǎn) . 極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極 領(lǐng)域 (如經(jīng)濟(jì)、化學(xué)、生物等 )也有廣泛的應(yīng)用 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 如圖，函數(shù) 在 處取極小值 ,在 ()y f x? 1 2 4,x x x1x 2x 3xO xa b4xy○ ()y f x?5x6x外 , 在 處 6x是極值點(diǎn) . 切線(xiàn) , 但它不 雖然也有水平 足為奇的 . 此 現(xiàn)象 , 那是不 因此如果出現(xiàn)某一極大值反而小于另一極小值的 35,xx處取極大值 . 由于極值是一個(gè)局部性概念 , 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 11 ( ) , ,0 00fx ??? ??證 明 ： 若 則 存 在 使 對(duì) 任( , ) ,00x x x ???何 有證 由右導(dǎo)數(shù)的定義 : ? ? ? ?00000 , ( , ) .f x f x x x xxx ?? ? ? ? ??0000( ) ( )( ) l i m 0 ,xxf x f xfxxx?? ??? ???與極限保號(hào)性，推知存在 0 , 使得 ?0( ) ( ) .f x f x? (9) 再由 ,得 于是 (9) 式成立 . 0xx? 0( ) ( ) 0 ,f x f x??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 根據(jù)例 11，可得如下重要定理： 設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) x0 的某鄰域內(nèi)有定義 ,且在點(diǎn) x0 可 定理 (費(fèi)馬定理 ) 導(dǎo) . 如果 x0 是 f 的極值點(diǎn)，則必有 .0)( 0 ?? xf0 0 0( ) ( ) , ( , ) .f x f x x x x?? ? ? ?使得 類(lèi)似地，若 0( ) 0 , 0 ,fx ??? ??則存在上述定理的幾何意義：如果 f 在極值 x ? x0 處 可 導(dǎo)，則該點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于 x 軸 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 稱(chēng)滿(mǎn)足方程 f ?(x) ? 0 的點(diǎn)為 f 的 穩(wěn)定點(diǎn) . 注 穩(wěn)定點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)，如 x ? 0 是 y ? x3 不是穩(wěn)定點(diǎn) ( 因?yàn)樗? x = 0 處不可導(dǎo) ). 都是穩(wěn)定點(diǎn) , 如 x = 0 是 y = | x | 的極小值點(diǎn) , 但 的穩(wěn)定點(diǎn) ,但不是極值點(diǎn) . 反之 ,極值點(diǎn)也不一定 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 費(fèi)馬 ( Fermat, P. 16011665, 法國(guó) ) 達(dá)布 ( Darboux,. 18421917, 法國(guó) ) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 定理 (達(dá)布定理 ) 使得一點(diǎn) ,),( bac ?? ? .kcf ??是介 如果 f 在 [a, b] 上可導(dǎo)，且 ? ? ? ? kbfaf ,?? ???之間的任一實(shí)數(shù)，則至少存在 )()( bfaf ?? ?? 與于證 令 F(x) = f (x)－ kx, 則 F ?(x) = f ?(x) － k .根據(jù) 費(fèi)馬定理 ,只要證明 F(x) 在 (a, b) 上有極值點(diǎn)即可 . ? ? 可,0)())(()()( ?????????? ???? kbfkafbFaF由于 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 分別存在由例設(shè) ,)(,0)( ???? ?? bFaF,),(),( 2121 xxbUxaUx ??? ?? 且??.)()(,)()( 21 bFxFaFxF ??.),(,)( backcf ???使得 由此可知 , [a, b] 上 的連續(xù)函數(shù) , 其 最大值必在 F 由費(fèi)馬定理得 , 即 0)( ?? cF定是極大值 ,某一點(diǎn) c ? (a, b) 處 取得 . 區(qū)間內(nèi)取得的最大值一 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 復(fù)習(xí)思考題 000( ) ( )l i m ,xf x x f xxDDD??? ??3. 舉出一個(gè)函數(shù) , 它滿(mǎn)足 ()y f x?但 不是它的垂直切線(xiàn) . 0xx?4. 舉出一個(gè)函數(shù) , 要求它可導(dǎo) , 但 不連 ()fx ()fx? 續(xù) . 試問(wèn)這種不連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)是否仍有介值性 ? 2. 給出函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 不可導(dǎo)的 “ ? – ? ” 定義 . 1. 給出函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo)的 “ ? – ? ” 定義 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 167。 2 求導(dǎo)法則 導(dǎo)數(shù)很有用 ， 但全憑定義來(lái)計(jì)算導(dǎo) 四、基本求導(dǎo)法則與公式 三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 求導(dǎo)法則 , 使導(dǎo)數(shù)運(yùn)算變得較為簡(jiǎn)便 . 數(shù)是不方便的 . 為此要建立一些有效的 返回返回 后頁(yè) 前頁(yè) 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 0 00( ( ) ( ) ) ( ) ( ) . ( 1 )xxu x v x u x v x?? ? ?? ? ?在點(diǎn) x0 也可導(dǎo) , 且 ( ) ( ) ( )f x u x v x??0 0 0 0 0( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 2 )xxu x v x u x v x u x v x?? ? ???推論 若 u (x) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo) ,c 是常數(shù) ， 則 在點(diǎn) x0 也可導(dǎo) , 且 ( ) ( ) ( )f x u x v x?定理 若函數(shù) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo) , 則函數(shù) ( ), ( )u x v x定理 若函數(shù) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo) , 則函數(shù) ( ), ( )u x v x返回 后頁(yè) 前頁(yè) ( ( ) ) ( ) . ( )0 0 3xxc u x c u x??? ?( ) .uv w u v w uv w uv w? ? ? ?? ? ?定理 可推廣到任意有限個(gè)函數(shù)相乘的情形 , 如 下面證明乘積公式 (2), 請(qǐng)讀者自行證明公式 (1) . ( ) ( ) ( ) ( )( ) l im 0 0 0 00 Δ 0Δ ΔΔxu x x v x x u x v xfxx?? ? ?? ?0 0 0 0Δ 0( Δ )( Δ ) ( ) ( Δ )limΔxu x x v x x u x v x xx?? ? ? ? ???? 證 (2) 按定義可得 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x v x x u x v xxDD??????0000( ) ( )l i m ( )xu x x u x v x xxDD DD?????注意 : ,千萬(wàn)不要把導(dǎo)數(shù)乘積公式 (2) ()u v u v? ? ??? 記錯(cuò)了 . 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .u x v x u x v x????0000( ) ( )li m ( )xv x x v xuxxDDD????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 1 10 1 1( ) .nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?求 的導(dǎo)數(shù)10 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?nn nnf x a x a x a x a解 因此 , 對(duì)于多項(xiàng)式 f 而言 , 總是
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