全微分、方向?qū)?shù)、梯度(編輯修改稿)
2024-09-12 01:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 0,0(),(,1si n),(22yxyxyxxyyxf在點(diǎn) )0,0( 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) )0,0(不連續(xù)，而 f 在點(diǎn) )0,0( 可微 . 思路：按有關(guān)定義討論；對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)需分 )0,0(),( ?yx ， )0,0(),( ?yx 討論 .證 因?yàn)? ,0?x ,0?y 時(shí) 0lim )0,0(),( ?? xyyx11si n 22 ?? yx0? ),0,0(f?故函數(shù)在點(diǎn) )0,0( 連續(xù) ,?)0,0(xf x fxfx ? ???? )0,0()0,(lim 0 ,000lim 0 ???? ?? xx同理 .0)0,0( ?yf于是 22001si nlimyxxyyx ???當(dāng) )0,0(),( ?yx 時(shí)，?),( yxf x ,1c os)(1si n22322222 yxyxyxyxy ????當(dāng)點(diǎn) ),( yxP 沿直線 xy ? 趨于 )0,0( 時(shí) ,),(l i m )0,0(),( yxf xxx ?,||2 1co s||22||2 1si nlim 330?????? ??? xxxxxx不存在 . 所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不連續(xù) .同理可證 ),( yxf y 在 )0,0( 不連續(xù) .yfxffyxfyfxff yxyx ????????????? )0,0(),(22 )()(1s i nyxyx????????))()(( 22 yxo ????故 ),( yxf 在點(diǎn) )0,0( )0,0( ?df全微分的計(jì)算 請(qǐng)同學(xué)自己看書 ! , )( ),( 則處可微在點(diǎn)設(shè)函數(shù) XXgXf)(d)(d))()(d( XgXfXgXf ???)( )(d))(d( RXfXf ?? ???)(d)()(d)())()(d( XgXfXfXgXgXf ??0))( ( )( )(d)()(d)()( )(d 2 ????????? XgXg XgXfXfXgXg Xf.d , )1,2,2(uxu zy 求設(shè) ?zzuyyuxxuu dddd ?????????)1,2,2()1,2,2( )(zyxxxu????? 4)1,2,2(1 ?? ?zyz xy 將 y, z 看成常數(shù) : . , zw ywxu ?? 將 x , z 看成常數(shù) : . , zw ywxu ??)1,2,2()1,2,2( )(zyxyyu?????)1,2,2(1ln ??? zy yzxxz 2ln4? 例 解 將 x , y 看成常數(shù) : . , zw ywxu ??)1,2,2()1,2,2( )(zyxyyu?????)1,2,2(lnln yyxx zyz ?? 2ln8 2?故 zyxu d2ln8d2ln4d4d 2)1,2,2( ??? . , ? 22 求其全微分若可微是否可微函數(shù) yyxz ??, 2 , 2 22 中連續(xù)在易知 Ryxyzyxxz ??????? . 222 中可微在故函數(shù) Ryyxz ??yyzxxzz ddd ?????? yyxxxy d)2(d2 2 ??? 例 解 回頭看全微分公式 zzz yx ddd ??yyzxxzz ????????d . d 的偏微分稱為函數(shù)關(guān)于 xxxzzx ???? . d 的偏微分稱為函數(shù)關(guān)于 yyyzzy ????這與物理中的疊加原理相符 . 二 . 方向?qū)?shù) 回憶一元函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù) : A B C ?xx ??xxfxxfxfx ??????????)()(lim)(0 :0??x||AC|| ?||)(|| xxxx ?????||AC||( A )( C )lim0ffx????? ( C ))( fxxf ??? ( A ))( fxf ? AC 方向的導(dǎo)數(shù)沿xx O y z . P0 P l 0l?. 中 3R)( Xfz ? ||PP|| )(P( P)lim 00PP 0ff ?? : )( 0 方向的導(dǎo)數(shù)沿 lXf?
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