全微分、方向?qū)?shù)、梯度-在線瀏覽
2024-09-26 01:37本頁(yè)面
【正文】 xx zyz ?? 2ln8 2?故 zyxu d2ln8d2ln4d4d 2)1,2,2( ??? . , ? 22 求其全微分若可微是否可微函數(shù) yyxz ??, 2 , 2 22 中連續(xù)在易知 Ryxyzyxxz ??????? . 222 中可微在故函數(shù) Ryyxz ??yyzxxzz ddd ?????? yyxxxy d)2(d2 2 ??? 例 解 回頭看全微分公式 zzz yx ddd ??yyzxxzz ????????d . d 的偏微分稱為函數(shù)關(guān)于 xxxzzx ???? . d 的偏微分稱為函數(shù)關(guān)于 yyyzzy ????這與物理中的疊加原理相符 . 二 . 方向?qū)?shù) 回憶一元函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù) : A B C ?xx ??xxfxxfxfx ??????????)()(lim)(0 :0??x||AC|| ?||)(|| xxxx ?????||AC||( A )( C )lim0ffx????? ( C ))( fxxf ??? ( A ))( fxf ? AC 方向的導(dǎo)數(shù)沿xx O y z . P0 P l 0l?. 中 3R)( Xfz ? ||PP|| )(P( P)lim 00PP 0ff ?? : )( 0 方向的導(dǎo)數(shù)沿 lXf?利用點(diǎn)函數(shù)推廣到 中 3R方向?qū)?shù)的定義 設(shè)函數(shù) )( Xfu ? 在 )U(0X內(nèi)有定義 . 若點(diǎn) )U( 0XX ?沿射線 l 趨于 0X時(shí) , 極限 ||||)()(lim000 XXXfXfXX ???l 方向的方向?qū)?shù) . 記為 存在 , 則稱該極限值為函數(shù) )(Xf 在點(diǎn) 0X處沿 ||||)()(l i m 0000 XXXfXflzXXXX ??????? . )( 0Xf l?或比較方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的概念 在方向?qū)?shù)中 , 分母 0. |||| 0 ?? XX在偏導(dǎo)數(shù)中 , 分母 可正、可負(fù) . yx ?? ,即使 l 的方向與 x 軸 , y 軸的正方向一致時(shí) , 方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)也是兩個(gè)不同的概念 . 單向 雙向 利用直線方程可將方向?qū)?shù)的定義表示為 : )()(lim 000 tXfetXflut????????射線 l 的方程 : 則 故 ,0 etXX ???tzzyyxx ?????? ??? c o sc o sc o s 000,c o s0 ?txx ?? ,c o s0 ?tyy ?? ?c o s0 tzz ??. )c o s ,c o s ,( c o s ????e怎么計(jì)算方向?qū)?shù)？ 0XXl0l????),( 0000 zyxX),( zyxX||||c os00XXxx????||||c o s00XXyy????||||c o s00XXzz????| | )o ( | |)()( 00 XXzzuyyuxxuXfXf ???????????????中的情形看空間 3R||||)()(lim 0000 XXXfXfluXXXX ????????????????????? |||| |||| lim000 XXyyuXXxxuXX???????????||||||)o ( | ||||| 000 XXXXXXzzu??? c o s c o s c o s zuyuxu ?????????方向?qū)?shù)導(dǎo)計(jì)算公式 若函數(shù) ),( zyxfu ? 在點(diǎn) ),(000 zyx處可微 , 則函數(shù) )(Xf 在點(diǎn) ),(000 zyx處沿任一方向 )c o s,c o s,( c o s0 ????l?的方向?qū)?shù)存在 , 且 ???lu其中 , 各偏導(dǎo)數(shù)均為在
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