全微分、方向?qū)?shù)、梯度(文件)
【正文】 二元函數(shù)可微的充分條件 定理 . , )),U ( ( ),( 00 可偏導(dǎo)內(nèi)有定義在設(shè) yxyxfz ? ),( , ),( z , z 00 在則函數(shù)處連續(xù)在點(diǎn)若 yxfyxyx ???? . ),( 00 處可微點(diǎn) yx利用微分中值定理 ))(,(),(),( 0100 xxyfyxfyxf x ???? ? , ))(,( 020 yyxf y ??? ?yy yxfxx yxfz ????????? ),( ),( 0000 . )o( 22 yx ????由偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性 , ),( ),(lim 00100 xyxfxyfyyxx ????????要證明函數(shù) f ( x , y ) 在點(diǎn) 處可微 , 即要證 ),( 00 yx證 故 同理 , ),( ),( 0020 ?? ?????? y yxfyxf , ),( ),( 001 ?? ?????? x yxfx yf其中 ??, 為該極限過(guò)程中的無(wú)窮小量 . 從而 , 函數(shù)的全增量 yy yxfxx yxfz ????????? ),( ),( 0000 , )o( yx ???? ??又 22 0 yx yx ??? ???? ?? , 0|||| ??? ?? , )o( 22 yx ?? ??即函數(shù) f ( x , y ) 在點(diǎn) 處可微 . ),( 00 yx故由夾逼定理 ,得 yy yxfxx yxfz ??? ),( ),( 0000 ??????如果函數(shù) )( Xfz ? 在區(qū)域 ? 中 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) xz?? 和 yz??, 則稱函數(shù) .)()( 1 ?? CXf)( Xf 為區(qū)域 1C? 中的 類函數(shù) , 記為 當(dāng)不強(qiáng)調(diào)區(qū)域時(shí) , 記為 .)( 1CXf ?多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系 函數(shù)可微 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 函數(shù)連續(xù) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在例 2 試證函數(shù)?????????)0,0(),(,0)0,0(),(,1si n),(22yxyxyxxyyxf在點(diǎn) )0,0( 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) )0,0(不連續(xù)，而 f 在點(diǎn) )0,0( 可微 . 思路：按有關(guān)定義討論；對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)需分 )0,0(),( ?yx ， )0,0(),( ?yx 討論 .證 因?yàn)? ,0?x ,0?y 時(shí) 0lim )0,0(),( ?? xyyx11si n 22 ?? yx0? ),0,0(f?故函數(shù)在點(diǎn) )0,0( 連續(xù) ,?)0,0(xf x fxfx ? ???? )0,0()0,(lim 0 ,000lim 0 ???? ?? xx同理 .0)0,0( ?yf于是 22001si nlimyxxyyx ???當(dāng) )0,0(),( ?yx 時(shí)，?),( yxf x ,1c os)(1si n22322222 yxyxyxyxy ????當(dāng)點(diǎn) ),( yxP 沿直線 xy ? 趨于 )0,0( 時(shí) ,),(l i m )0,0(),( yxf xxx ?,||2 1co s||22||2 1si nlim 330?????? ??? xxxxxx不存在 . 所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不連續(xù) .同理可證 ),( yxf y 在 )0,0( 不連續(xù) .yfxffyxfyfxff yxyx ????????????? )0,0(),(22 )()(1s i nyxyx????????))()(( 22 yxo ????故 ),( yxf 在點(diǎn) )0,0( )0,0( ?df全微分的計(jì)算 請(qǐng)同學(xué)自己看書(shū) ! , )( ),( 則處可微在點(diǎn)設(shè)函數(shù) XXgXf)(d)(d))()(d( XgXfXgXf ???)( )(d))(d( RXfXf ?? ???)(d)()(d)())()(d( XgXfXfXgXgXf ??0))( ( )( )(d)()(d)()( )(d 2 ????????? XgXg XgXfXfXgXg Xf.d , )1,2,2(uxu zy 求設(shè) ?zzuyyuxxuu
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