全微分、方向?qū)?shù)、梯度-免費閱讀
【正文】 會求解一些 較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。 9. 熟悉平面的方程和直線的方程及其求法。了解二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的幾何意義。 第八章 多元函數(shù)微分學(xué) 教案編寫：張理電子制作：張理第八章 多元函數(shù)微分學(xué) 本章學(xué)習(xí)要求： 1. 理解多元函數(shù)的概念。 4. 熟練掌握二元和三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全導(dǎo)數(shù)、全微分的計算方法及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。 10. 了解空間 (平面 )曲線的參數(shù)方程和一般方程。 第四節(jié) 全微分 方向?qū)?shù) 梯度 我們以二元函數(shù)為主 , 進行講解 , 所得結(jié)論可容易地推廣至三元和三元以上的函數(shù)中 . 一 . 全微分 回憶一元函數(shù)的微分 , 0 使得有關(guān)的實數(shù)若存在僅與 Ax)o( xxAy ?????)( , )( 0 xfxAxxf 為函數(shù)處可微在點則稱函數(shù) ?且處的微分在點 ,0xxxxxfy ???? d , d)(d可微 可導(dǎo) ??運用多元函數(shù)的全增量概念 , 將一元函數(shù)的微分概念推廣到多元 函數(shù)中 . 一元函數(shù)的增量 ?? 多元函數(shù)的全增量 回憶一元微分的幾何意義 O xyx?xdx xx ??)( xfy ?? ddtan xy?? 一元 : 用切線上的增量近似曲線上的增量 . 多元 : 用切平面上的增量近似曲面上的增量 . T應(yīng)用 的某一個 線性函數(shù)表示二元函數(shù)的全增量 yx ?? ,:z??????????????ybxayxfyyxxfz ),() ,(, , 無關(guān)的常數(shù)和是與 yxba ??. 應(yīng)該是一個無窮小量?二元函數(shù)全微分的定義 )U( 00 XXX ??? 時 , 若函數(shù)在點 X0 處的全增量可 則稱函數(shù)在點 X0 處可微 , ???? xaz ??yb )o( 22 yx ???zd ybxa ?????設(shè)函數(shù) )( Xfz ? 在點 ),( 000 yxX ? 的某一鄰域 稱為函數(shù)在點 X0 處的全微分 , 其中 , a , b 是與 ?X )U( 0X 內(nèi)有定義 , 當(dāng) 0X 獲得增量 ,),( yxX ???? 且 表示為 0 有關(guān)的常數(shù) . 無關(guān) ,僅與 X 全微分概念的極限形式 0)(lim 2200????????????? yxybxazyx0|||| |)(|lim 00?? ????????? Xybxazyx或22 yx ?????|||| X?其中 如果函數(shù) )(Xf 在區(qū)域 ? 中的 每一點均可微 , 則稱函數(shù)在區(qū)域 ? 上可微 . 函數(shù)在區(qū)域上的可微性 可微 連續(xù) 可導(dǎo) ? ? ? 在多元函數(shù)中 , 三者的關(guān)系如何？ 連續(xù)： 0lim00??????zyx可微與連續(xù)的關(guān)系 (可微的必要條件 ) 可微： ???? xaz ??yb )o( 22 yx ???函數(shù) )( Xf 在點 X0 處可微 , 則必在點 X0 處連續(xù) . 可微與連續(xù)的關(guān)系 (可微的必要條件 ) 可微 連續(xù) 可導(dǎo) ? 在多元函數(shù)中 , 可微 連續(xù) 可微與可導(dǎo)的關(guān)系 (可微的必要條件 ) 可微： ???? xaz ??yb )o(22 yx ???定理 則其兩個處可微在點若 , ),( ),( yxPyxfz ? , , 且均存在偏導(dǎo)數(shù) yzxz ???? . d d d yyzxxzz ??????若函數(shù)可微 , 則 )o( 22 yxybxaz ????????? ,0 , , 則取的任意性由 ???? yyx) || o( xxazz x ???????ax xxax zyxxyx?? ??????????????|)o ( |limlim0000即 , axz ??? 同理 , 取 , ,0 byzx ????? 得證 . )d ,d( , d d d yyxxyyzxxzz ??????????故可微 連續(xù) 可導(dǎo) 在多元函數(shù)中 , 可微 可偏導(dǎo) 可微
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