全微分、方向?qū)?shù)、梯度-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 趨于 )0,0( 時(shí) ,),(l i m )0,0(),( yxf xxx ?,||2 1co s||22||2 1si nlim 330?????? ??? xxxxxx不存在 . 所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不連續(xù) .同理可證 ),( yxf y 在 )0,0( 不連續(xù) .yfxffyxfyfxff yxyx ????????????? )0,0(),(22 )()(1s i nyxyx????????))()(( 22 yxo ????故 ),( yxf 在點(diǎn) )0,0( )0,0( ?df全微分的計(jì)算 請(qǐng)同學(xué)自己看書(shū) ! , )( ),( 則處可微在點(diǎn)設(shè)函數(shù) XXgXf)(d)(d))()(d( XgXfXgXf ???)( )(d))(d( RXfXf ?? ???)(d)()(d)())()(d( XgXfXfXgXgXf ??0))( ( )( )(d)()(d)()( )(d 2 ????????? XgXg XgXfXfXgXg Xf.d , )1,2,2(uxu zy 求設(shè) ?zzuyyuxxuu dddd ?????????)1,2,2()1,2,2( )(zyxxxu????? 4)1,2,2(1 ?? ?zyz xy 將 y, z 看成常數(shù) : . , zw ywxu ?? 將 x , z 看成常數(shù) : . , zw ywxu ??)1,2,2()1,2,2( )(zyxyyu?????)1,2,2(1ln ??? zy yzxxz 2ln4? 例 解 將 x , y 看成常數(shù) : . , zw ywxu ??)1,2,2()1,2,2( )(zyxyyu?????)1,2,2(lnln yyxx zyz ?? 2ln8 2?故 zyxu d2ln8d2ln4d4d 2)1,2,2( ??? . , ? 22 求其全微分若可微是否可微函數(shù) yyxz ??, 2 , 2 22 中連續(xù)在易知 Ryxyzyxxz ??????? . 222 中可微在故函數(shù) Ryyxz ??yyzxxzz ddd ?????? yyxxxy d)2(d2 2 ??? 例 解 回頭看全微分公式 zzz yx ddd ??yyzxxzz ????????d . d 的偏微分稱為函數(shù)關(guān)于 xxxzzx ???? . d 的偏微分稱為函數(shù)關(guān)于 yyyzzy ????這與物理中的疊加原理相符 . 二 . 方向?qū)?shù) 回憶一元函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù) : A B C ?xx ??xxfxxfxfx ??????????)()(lim)(0 :0??x||AC|| ?||)(|| xxxx ?????||AC||( A )( C )lim0ffx????? ( C ))( fxxf ??? ( A ))( fxf ? AC 方向的導(dǎo)數(shù)沿xx O y z . P0 P l 0l?. 中 3R)( Xfz ? ||PP|| )(P( P)lim 00PP 0ff ?? : )( 0 方向的導(dǎo)數(shù)沿 lXf?利用點(diǎn)函數(shù)推廣到 中 3R方向?qū)?shù)的定義 設(shè)函數(shù) )( Xfu ? 在 )U(0X內(nèi)有定義 . 若點(diǎn) )U( 0XX ?沿射線 l 趨于 0X時(shí) , 極限 ||||)()(lim000 XXXfXfXX ???l 方向的方向?qū)?shù) . 記為 存在 , 則稱該極限值為函數(shù) )(Xf 在點(diǎn) 0X處沿 ||||)()(l i m 0000 XXXfXflzXXXX ??????? . )( 0Xf l?或比較方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的概念 在方向?qū)?shù)中 , 分母 0. |||| 0 ?? XX在偏導(dǎo)數(shù)中 , 分母 可正、可負(fù) . yx ?? ,即使 l 的方向與 x 軸 , y 軸的正方向一致時(shí) , 方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)也是兩個(gè)不同的概念 . 單向 雙向 利用直線方程可將方向?qū)?shù)的定義表示為 : )()(lim 00
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