全微分、方向?qū)?shù)、梯度(存儲版)
【正文】 連續(xù) 可導 在多元函數(shù)中 , 可微 可偏導 在多元函數(shù)中 ,可偏導 可微 ? 函數(shù) ?),( yxf易知 ,0)0,0()0,0( ?? yx ff 但 ])0,0()0,0([ yfxfz yx ?????因此 ,函數(shù)在點 (0,0) 不可微 . )(?o?注意 : 22 )()( yxyx??????22 )()( yxyx??????0偏導數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 ! 0, 2222 ??? yxyx yx0,0 22 ?? yx 例 1 ?),( yxf函數(shù)0 2222 ??? yxyx xy0 0 22 ?? yx 例 1 在點 (0, 0) 處連續(xù) , 且有有界的偏導數(shù) , 但不可微 . 該例留給學生課后研討 參考書： 《 高等數(shù)學中的反例 》 朱 勇等編 華中工學院出版社 1986年 p 120~130 逆命題 ? 可 微 連續(xù) 可導 連 續(xù) 可 導 連續(xù)可導 Ok 二元函數(shù)可微的充分條件 定理 . , )),U ( ( ),( 00 可偏導內(nèi)有定義在設(shè) yxyxfz ? ),( , ),( z , z 00 在則函數(shù)處連續(xù)在點若 yxfyxyx ???? . ),( 00 處可微點 yx利用微分中值定理 ))(,(),(),( 0100 xxyfyxfyxf x ???? ? , ))(,( 020 yyxf y ??? ?yy yxfxx yxfz ????????? ),( ),( 0000 . )o( 22 yx ????由偏導數(shù)的連續(xù)性 , ),( ),(lim 00100 xyxfxyfyyxx ????????要證明函數(shù) f ( x , y ) 在點 處可微 , 即要證 ),( 00 yx證 故 同理 , ),( ),( 0020 ?? ?????? y yxfyxf , ),( ),( 001 ?? ?????? x yxfx yf其中 ??, 為該極限過程中的無窮小量 . 從而 , 函數(shù)的全增量 yy yxfxx yxfz ????????? ),( ),( 0000 , )o( yx ???? ??又 22 0 yx yx ??? ???? ?? , 0|||| ??? ?? , )o( 22 yx ?? ??即函數(shù) f ( x , y ) 在點 處可微 . ),( 00 yx故由夾逼定理 ,得 yy yxfxx yxfz ??? ),( ),( 0000 ??????如果函數(shù) )( Xfz ? 在區(qū)域 ? 中 具有連續(xù)偏導數(shù) xz?? 和 yz??, 則稱函數(shù) .)()( 1 ?? CXf)( Xf 為區(qū)域 1C? 中的 類函數(shù) , 記為 當不強調(diào)區(qū)域時 , 記為 .)( 1CXf ?多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關(guān)系 函數(shù)可微 偏導數(shù)連續(xù) 函數(shù)連續(xù) 函數(shù)偏導數(shù)存在例 2 試證函數(shù)?????????)0,0(),(,0)0,0(),(,1si n),(22yxyxyxxyyxf在點 )0,0( 連續(xù)且偏導數(shù)存在，但偏導數(shù)在點 )0,0(不連續(xù)，而 f 在點 )0,0( 可微 . 思路：按有關(guān)定義討論；對于偏導數(shù)需分 )0,0(),( ?yx ， )0,0(),( ?yx 討論 .證 因為 ,0?x ,0?y 時 0lim )0,0(),( ?? xyyx11si n 22 ?? yx0? ),0,0(f?故函數(shù)在點 )0,0( 連續(xù) ,?)0,0(xf x fxfx ? ???? )0,0()0,(lim 0 ,000lim 0 ???? ?? xx同理 .0)0,0( ?yf于是 22001si nlimyxxyyx ???當 )0,0(),( ?yx 時，?),( yxf x ,1c os)(1si n22322222 yxyxyxyxy ????當點 ),( yxP 沿直線 xy ?
研究報告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1