全微分、方向?qū)?shù)、梯度(更新版)
【正文】 ?? . darg 0 上的投影在是即 lulu ??? , , r a dg ?????? ??????? zuyuxuu向量只與函數(shù)在點(diǎn) X0 處的偏導(dǎo)數(shù)有關(guān) . 0 darg lulu ?????) , darc o s ( g|||||| darg|| 00 lulu ?? ???) , darc o s ( g|| darg|| 0luu ???1 一個(gè)問(wèn)題： 該問(wèn)題僅在 zuyuxu?????? , 不同時(shí)為零才有意義 . ),()( zyxfXfu ??在給定點(diǎn) 0X沿什么方向增加得最快 ? 可微函數(shù) . 0 的最大值處該問(wèn)題即求在點(diǎn) luX ??: ) , darc o s ( g|| darg|| 0 可知由 luulu ?????, , 1) , darc o s ( g 0 取最大值時(shí)當(dāng) lulu ????. , darg 0 取最大值的方向重合時(shí)與即當(dāng) luul ???00 || darg|| m a xXX ulu ???現(xiàn)在正式給出 的定義 grad u 且 三 . 梯度 定義 設(shè) ,3R?? ,)()( 1 ??? CXfu,0 ??? X則稱向量 為函數(shù) )( Xf在點(diǎn) 0X處的梯度 , 記為 )(g r a d 0Xf或 。 12. 理解二元函數(shù)無(wú)約束極值的概念，能熟練求出二元函數(shù)的無(wú)約 束極值。 6. 會(huì)求隱函數(shù) (包括由方程組確定的隱函數(shù) )的一階、二階偏數(shù)。知道極限的“點(diǎn)函數(shù)”表示法。會(huì)求二元函數(shù)的極限。 5. 理解方向?qū)?shù)的概念，并掌握它的計(jì)算方法以及它與梯度的關(guān)系。知道曲線族的包絡(luò)的概念及其法。)( 0Xf???? ixXf ?)( 0 ??? jyXf ?)( 0 kzXf ??? )( 0 梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)值 的方向一致 , 而梯度的模就是函數(shù)在該 點(diǎn)的方向?qū)?shù)的最大值 . 以上結(jié)論可以推廣到二元和三元以 上的函數(shù)中 . 在 2R 中 ???lu ??? ?c o sxu ?c o syu??在 nR 中 ???lu ???11co s ?xunnxu ?co s????可統(tǒng)一表示為 0g r a d lulu?????)c o s,c o s,( c o s 210 nl ??? ?? ?)2( ?n?ugrad???????????? , , , 21 nxuxuxu ?并求在求設(shè) , g r a d ,5 2 uzxyzu ???. )( )1,1 ,0( 值小處方向?qū)?shù)的最大點(diǎn) ?M∵ ∴ ,yzxu ??? ,xzyu ??? ,2 zxyzu ????)1,1,0()1,1,0( )2,(g r ad ?? ?? zxyxzyzu)2,0,1( ???從而 5||g r ad||m ax ???????? ?? ulu M5||g r a d||m i n ?????????? ?? ulu M 例 解 設(shè)點(diǎn)電荷 q 位于坐標(biāo)原點(diǎn) , 在點(diǎn) ),( zyxM,4 rqv???處的電位為 其中 , ? 為介電系數(shù) , ,kzjyixr ???? ??? ,|||| rr ?? 求電位 v 的梯度 . g r a dg r a d ?vrq??4rrq g r ad4 2???? rrq ?34???? 其中 , 負(fù)號(hào)說(shuō)明離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn) , 電位越低 , 即電位梯度的方向與電場(chǎng) E 的方向相反 . 自己計(jì)算一下這一步 . 例 解 222g r a dg r a d zyxr ???222 zyxkzjyix????????rr?? 梯度及其運(yùn)算公式的參考書(shū) 工程數(shù)學(xué) 《 矢量分析與場(chǎng)論 》 謝樹(shù)藝 高等教育出版社 1985年
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