全微分、方向?qū)?shù)、梯度(參考版)
2024-08-27 01:37本頁面
【正文】 2 ????? PP xzyu,2 ???? PP xyzu,31cos ?? ,32cos ?? .32cos ??3432232)2(31)4( ????????????Plu3221 |||| 222 ????l? 例 解 由點(diǎn) ),P( yx 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離定 義的函數(shù) 22 yxz ??在坐標(biāo)原點(diǎn)處 向?qū)?shù)值都等于 1: 10lim 222200????????? yxyxlzyx的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在 , 但它在該點(diǎn) 沿任何方向的方向?qū)?shù)均存在 , 且方 此例說明 : 1. 方向?qū)?shù)存在時(shí) , 偏導(dǎo)數(shù)不一定存在 . , 而不是 必要條件 . 例 算公式再回頭看方向?qū)?shù)的計(jì)??? c o s c o s c o s zuyuxulu ???????????)c o s ,c o s ,( c o s 0 ????l?其中則若引進(jìn)向量 , , , r a dg ?????????????zuyuxuu0 darg lulu ????? . darg 0 上的投影在是即 lulu ??? , , r a dg ?????? ??????? zuyuxuu向量只與函數(shù)在點(diǎn) X0 處的偏導(dǎo)數(shù)有關(guān) . 0 darg lulu ?????) , darc o s ( g|||||| darg|| 00 lulu ?? ???) , darc o s ( g|| darg|| 0luu ???1 一個(gè)問題： 該問題僅在 zuyuxu?????? , 不同時(shí)為零才有意義 . ),()( zyxfXfu ??在給定點(diǎn) 0X沿什么方向增加得最快 ? 可微函數(shù) . 0 的最大值處該問題即求在點(diǎn) luX ??: ) , darc o s ( g|| darg|| 0 可知由 luulu ?????, , 1) , darc o s ( g 0 取最大值時(shí)當(dāng) lulu ????. , darg 0 取最大值的方向重合時(shí)與即當(dāng) luul ???00 || darg|| m a xXX ulu ???現(xiàn)在正式給出 的定義 grad u 且 三 . 梯度 定義 設(shè) ,3R?? ,)()( 1 ??? CXfu,0 ??? X則稱向量 為函數(shù) )( Xf在點(diǎn) 0X處的梯度 , 記為 )(g r a d 0Xf或 。 第四節(jié) 全微分 方向?qū)?shù) 梯度 我們以二元函數(shù)為主 , 進(jìn)行講解 , 所得結(jié)論可容易地推廣至三元和三元以上的函數(shù)中 . 一 . 全微分 回憶一元函數(shù)的微分 , 0 使得有關(guān)的實(shí)數(shù)若存在僅與 Ax)o( xxAy ?????)( , )( 0 xfxAxxf 為函數(shù)處可微在點(diǎn)則稱函數(shù) ?且處的微分在點(diǎn) ,0xxxxxfy ???? d , d)(d可微 可導(dǎo) ??運(yùn)用多元函數(shù)的全增量概念 , 將一元函數(shù)的微分概念推廣到多元 函數(shù)中 . 一元函數(shù)的增量 ?? 多元函數(shù)的全增量 回憶一元微分的幾何意義 O xyx?xdx xx ??)( xfy ?? ddtan xy?? 一元 : 用切線上的增量近似曲線上的增量 . 多元 : 用切平面上的增量近似曲面上的增量 . T應(yīng)用 的某一個(gè) 線性函數(shù)表示二元函數(shù)的全增量 yx ?? ,:z??????????????ybxayxfyyxxfz ),() ,(, , 無關(guān)的常數(shù)和是與 yxba ??. 應(yīng)該是一個(gè)無窮小量?二元函數(shù)全微分的定義 )U( 00 XXX ??? 時(shí) , 若函數(shù)在點(diǎn) X0 處的全增量可 則稱函數(shù)在點(diǎn) X0 處可微 , ???? xaz ??y
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