倒數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)的概念-資料下載頁
2025-08-12 19:14本頁面
【導(dǎo)讀】化率”,就離不開導(dǎo)數(shù).兩個關(guān)于導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典例子.時間t的函數(shù),即其運動規(guī)律是則在某,)(tss?存在時,這個極限就是質(zhì)點在t0時刻的瞬時速度.x0處關(guān)于x的瞬時變化率.x0的導(dǎo)數(shù)，記作.)(0xf?線在點P(1,1)的切線方程.不存在極限,所以f在x=0處不可導(dǎo).根據(jù)有限增量公式即可得到下面定理.時的無窮小量，于是?其中D是熟知的狄利克雷函數(shù).證當(dāng)時,用歸結(jié)原理容易證明f在點x000?類似地可以定義左導(dǎo)數(shù),合起來即為:. 右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù).很有用處，請看下面例題.解容易看到f在x?0處連續(xù).又因1cos,0,
【正文】 x??????得 f (x) 在點 x0 可導(dǎo) , ).()( 00 xHxf ??且下面證明定理 ( 公式 (7) ) . ).(),)(()()( 000 xUxxxxHxfxf ????根據(jù)極限 返回 后頁 前頁 ),(0 uFu 連續(xù)的函數(shù)個在點 且使 )()( 00 uFuf ??同理， ,)( 0 可導(dǎo)在點 xxu ?? 則存在一個在點 x0 ).(),)(()()( 000 uUxuuuFufuf ????0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .u u x x x x x x U x? ? ?? ? ? ? ? ?于是當(dāng) 有 ),( 0xUx?由引理的必要性 ,)( 0 可導(dǎo)在點及 uuf 知存在一 ( ),x? 00( ) ( ) ,xx??? ?使 且 連續(xù)的函數(shù) 00( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) .f x f x F x x x x? ? ? ?? ? ?返回 后頁 前頁 公式 (7)改寫為 0 0 0 0 0( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) .H x F x x f u x? ? ???? ? ?d d d ,d d dx y uy u x?0, x??由于 在點 連續(xù) )( 00 xuF ??在點 連續(xù)， 0( ) ( ( ) ) ( ) .H x F x x x???所以 在點 連續(xù)根據(jù)引 理的充分性 , 0 ,fx? 在點 可導(dǎo) 且)()( 0xf ???( ) , ( ) ,y f u u x???其中 這樣就容易理解 “鏈” 的 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 (7) 又稱為 “鏈?zhǔn)椒▌t” . 若將 返回 后頁 前頁 ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ) .f x f x x? ? ?? ? ??與 的不同含義例 5 .s i n 2 yxy ?? 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在鏈?zhǔn)椒▌t中一定要區(qū)分 ()( ( ) ) ( ) | uxf x f u ?? ??? ?22d d d ( sin ) ( ) c o s 2 2 c o s .d d dy y u u x u x x xx u x ??? ? ? ? ?意義了 . 解 分解成 這兩個 2s inyx?將 2s iny u u x??與于是由鏈?zhǔn)椒▌t , 有 基本初等函數(shù)的復(fù)合， 返回 后頁 前頁 例 6 ( , 0 ) .y x x? ???求冪函數(shù) 是實數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解 lne e lnxuy x y u x?? ?? ? ? ?由與復(fù)合而成 , l n 1( ) ( e ) e .xuxxx? ? ?? ? ???? ? ? ?故例 7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : 2( i ) 1 。x? 21( ii ) 。1 x?2( ii i) ln ( 1 ) .xx??返回 后頁 前頁 解 運用復(fù)合求導(dǎo)法則 , 分別計算如下 : 12222 1( i ) ( ) ( 1 ) ( 1 )12 xxx???? ? ?? 2 .1xx??2 3 2 2211( i i ) ( 1 ) ( 1 )21xxx?????? ?? ? ? ????23.( 1 )xx???返回 后頁 前頁 2( i i i ) l n ( 1 )xx ?????????221 ( 1 )11xx x x??? ? ?221 ( 1 )1xxx x?? ? ?? ?21 .1 x??返回 后頁 前頁 例 8 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : 21( i ) ( ) a r c t a n ( t a n ) 。3 3 2xfx ?1, 0 ,1e( ii ) ( )0 , 0 .xxxgxx? ?? ?? ?? ??解 222 1 1 1( i ) ( ) se c13 3 2 21 t a n92xfxx? ? ? ? ??2211 .5 4 c o s9 c o s sin22xx x?? ??返回 后頁 前頁 ( ii ) 0x ?當(dāng) 時,111211 e e( ) .( 1 e )xxxxgx ??? ??0x ?當(dāng) 時, 因為101( 0 ) li m 0 0 ,1e xxxgx?? ???? ? ? ?????? ΔΔΔΔ所以 在 處不可導(dǎo) . g 0x?101( 0 ) li m 0 1 ,1e xxxgx?? ???? ? ? ?????? ΔΔΔΔ返回 后頁 前頁 化某些連乘、連除式的求導(dǎo) . ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln ( )( ( ) ) ( e ) e ( ( ) ln ( ) )v x v x u x v x u xu x v x u x? ? ???() ()( ) ( ) l n ( ) ( ) .()vx uxu x v x u x v xux??????????例 9 2 3 1 42 5( 1 ) ( 2 ) ,.( 5 9 )xxyyx?? ???設(shè)求對數(shù)求導(dǎo)法 ( ) 0 , ( )u x u x?設(shè) 均可導(dǎo) , 則 ()vx與()()vxux對數(shù)求導(dǎo)法不僅對冪指函數(shù) 有效 ,也能簡 返回 后頁 前頁 解 先對函數(shù)兩邊取對數(shù) , 得 再對上式兩邊求導(dǎo) , 又得 于是得到 ).95l n(52)2l n(41)1l n(3ln 2 ?????? xxxy26 1 2 5 .4 ( 2 ) 5 5 91yxy x xx? ? ? ? ????2 3 1 4225( 1 ) ( 2 ) 6 1 2 .4 ( 2 ) 5 9( 5 9 ) 1x x xyxxxx????? ? ? ??? ??????返回 后頁 前頁 求導(dǎo)法則： )。()(,)()2( 為常數(shù)cuccuvuvuuv ????????d1( 4 ) 。dddyxxy?反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1,)3( 22 vvvv vuvuvu ?????????????????????。)()1( vuvu ??????四、基本求導(dǎo)法則與公式 返回 后頁 前頁 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ( 1 ) ( ) 0 ( ) 。cc? ? 為 常 數(shù))。()()2( 1 為任意實數(shù)?? ?? ??? xx。s i n)( c os,c os)( s i n)3( xxxx ?????。c otc s c)( c s c,t ans e c)( s e c xxxxxx ?????。c s c)( c ot,s e c)( t an)4( 22 xxxx ?????d d d( 5 ) .d d dy y ux u x?復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)返回 后頁 前頁 11( 6 ) ( lo g ) , ( ln ) 。lna xxx a x????( 5 ) ( ) ln , ( e ) e 。x x x xa a a??? ? ?,20??200 ???2211( 7 ) ( ar c si n ) , ( ar c c os ) ,11xxxx??? ? ???21(ar c c ot ) .1x x? ?? ?21(ar c tan ) ,1x x? ?
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