11-3全微分-方向導數(shù)和梯度114(編輯修改稿)
2024-08-19 18:41 本頁面
【文章內容簡介】 z=f(x, y) ?M2. 方向導數(shù)的計算 定理 ,co s),(co s),( 0000 βyxfαyxf yx ?且有 ???),( 00 yxlf則函數(shù)在該點 沿任一方向 的方向導數(shù)存在 , le, ),(),( 000 處在點若函數(shù) yxPyxf可微x?y?xyolle?P? 0P)。,( yxflfα x???? 時，0).,( yxflfπα x????? 時， 求函數(shù) yxez 2? 在點 )0,1(P 處沿從點 )0,1(P 到點 )1,2( ?Q 的方向的方向導數(shù) . 解 )21,21( ??? lle l ???)c o s,( c o s ???,1)0,1(2)0,1(???? yexz?22)0,1(2)0,1(???? yxeyz例 7 ),1,1( ??? PQl?)21(2211 ????????)0,1(lz.22??),()c o sc o s(01?? yzxz ?????)21,21( ??? lle l ???)c o s,( c o s ???,1)0,1(2)0,1(???? yexz? 22)0,1(2)0,1(???? yxeyz三元函數(shù) ),( zyxfu ? ，在 點 ),( zyxP 沿著方向 l 的方向導數(shù) （ 設方向 l 的方向角為 ??? , ） 方向導數(shù)概念可 推廣到 三元函數(shù)： 當函數(shù)在此點可微時，那末函數(shù)在該點沿任意方向 l 的方向導數(shù)都存在，且有 .c o sc o sc o s ??? zfyfxflf ???????????指向 B( 3, － 2 , 2) 方向的方向導數(shù)是 . 在點 A( 1 , 0 , 1) 處沿點 A 例 8. 函數(shù) )l n( 22 zyxu ???解 }c o s,c o s,{c o s γβα?)1ln( ?x)11l n( 2 ?? y2121?x軸方向夾角為 ? 的射線 l 方向 的方向導數(shù) . 并問 : 在怎樣的方向上此方向導數(shù) (1) 取得最大值 。 ( 2 ) 取得最小值 。 ( 3) 等于零？ 解 ?? c o s),(c o s),(),(111111yx zzlz ????由方向導數(shù)的計算公式知 ,c o s)(c o s)( ),(),( ?? 1111 22 yx ????例 9 求函數(shù) 在點 P( 1,1 ) 沿與 )(2 22 yxz ???)s i n( c o s2 ?? ??? ),4s i n (22?? ???),4s i n(22)1,1(?? ?????lz故 ( 1) 當 4??? 時 ， (2) 當 45 ??? 時， ( 3 ) 當 43 ??? 和 47 ??? 時 ， 方向導數(shù)等于 0 . 。22?方向導數(shù)達到最小值 方向導數(shù)達到最大值 。22四、梯度 :問題從 例 9 看到 , 到最大值 .,22 增加得最快z的方向導數(shù)達在點函數(shù) )1,1()(2 22 Pyxz ???:45 時，即沿著方向當 ?? ?45 ???? ?? }c o s{c o s ，le?}21,21{ ???函數(shù)在點 P 沿哪一方向增加的速度最快？ z o P x y ?=5?/4 觀察向量： )1,1(}{Pyzxzg????? ，?}2,2{ ???恰好與 }21,21{ ???le? 同方向， ?? 22g?且)1,1(Plz??最大 . 這是巧合嗎？ 不是！ )1,1(}22{ Pyx ??? ， 設二元函數(shù) Pjyfixff )(g r a d ????????為函數(shù) z = f (x, y) 在點 P 處的梯度 記作 ( gradient ), 在點 具有偏導數(shù)， 稱向量 )},(),({ 0000 yxfyxf yxPyfxf ),(?????Pyfxf },{
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