11-3全微分-方向?qū)?shù)和梯度114(已修改)
2025-08-04 18:41 本頁面
【正文】 二、可微的條件 一、全微分的概念 多元函數(shù)的全微分 方向?qū)?shù)與梯度 第三節(jié) 第十一章 三、方向?qū)?shù)和梯度 一元函數(shù) y = f (x)： )()( xfxxfy ??? ??xxfy ??? )(d（當(dāng)一元函數(shù) y = f (x)可導(dǎo)時(shí)） 二元函數(shù) z = f (x,y)： )( xoxA ????函數(shù)的微分 一、全微分的概念 1. 問題的提出 ),(),( yxfyyxxfz ???????在點(diǎn) (x,y)的全增量 問題 yx ?? 、 的線性函數(shù)來 近似代替函數(shù)的全增量？ 可否用自變量的增量 若 z = f ( x, y )在點(diǎn) ( x , y )處的全增量 可表示成 ,)( ρoyBxAz ??????其中 A , B 不依賴于 ? x , ? y , 僅與 x , y 有關(guān)， 稱為函數(shù) ),( yxf 在點(diǎn) (x, y) 的 全微分 , 記作 yBxAfz ????? dd則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn) ( x, y) 可微 ， 2. 全微分的定義 定義 yBxA ?? ?將1176。 若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微 , 則稱此函數(shù) 2176。 由定義可知 , f ( x, y ) 在點(diǎn) ( x, y) 可微的 充要條件 是 : 在 D 內(nèi)可微 . 注 ??)(lim0yBxAz ??????.0)(),(),(lim0???????????? ??yBxAyxfyyxxf定理 (多元函數(shù)可微的 必要條件 ) 若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微 ,則 (2) 函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) .d),(d),(d yyxfxyxfz yx ??存在 ,且有 (1) 函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 連續(xù) 。 從而 二、可微的條件 1. 可微與連續(xù)、可導(dǎo)的關(guān)系 1176。 習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示 , .d),(d),(d yyxfxyxfz yx ??因此有 注 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù) .dddd zzuyyuxxuu ?????????2176。 可微與連續(xù)、可導(dǎo)的關(guān)系 (二元 以上的函數(shù) ) 可微 連續(xù) 可導(dǎo) 例 1 . .),(???????????000222222yxyxyxxyyxf討論 處在點(diǎn) )0,0((1) 連續(xù)性； (2) 可導(dǎo)性； (3) 可微性 . 解 (1) 2200l i myxxykxyx ?????220 )(l i m kxxkxxx ????21 kk??.lim 2200不存在yxxyyx ????處不連續(xù)在 ),(),( 00yxf?(2) ?)0,0(xf 0)0,0()0,(lim0 ??? xfxfx000020?????? xxxxlim0)0,0( ?yf同理 .)0,0(),( 處可導(dǎo)在yxf?? f ( x , y ) 在點(diǎn) )0,0( 處不可微 . (3) 處不連續(xù)在 ),(),( 00yxf?例 2 . .0001s i n),(22222222????????????yxyxyxyxyxf討論函數(shù) 處在點(diǎn) )0,0((1) 連續(xù)性； (2) 可導(dǎo)性； (3) 可微性 . 解 (1) ),(lim00yxfyx???222222 1s i n0 yxyxyx ?????? )0(0 ?? ?= 0 = f (0,0) 處連續(xù)在 )0,0(),( yxf?(2) ?)0,0(xf0)0,0()0,(lim0 ??? xfxfxxxxx01s i nlim220???也不存在同理 )0,0(yf.)0,0(),( 處不可導(dǎo)在yxf?不存在不可微。處偏
規(guī)章制度相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1