【正文】 (一 ) 二、一元函數(shù)微分學 （一）導數(shù)與微分 （ 1）理解 導數(shù)的概念及其幾何意義 ，了解 可導性與連續(xù)性的關系 ， 會用定義求函數(shù)在一點處的導數(shù) 。 （ 2）會求曲線上一點處的 切線方程與法線方程 。 （ 3）熟練掌握 導數(shù)的基本公式、四則運算法則 以及 復合函數(shù)的求導方法 。 （ 5）理解 高階導數(shù)的概念 ， 會求簡單函數(shù)的 n階 導數(shù)。 （ 6）理解 函數(shù)的微分概念， 掌握 微分法則 ，了解 可微與可導的關系，會求函數(shù)的一階微分 。 （ 4）掌握 隱函數(shù)的求導法 、 對數(shù)求導法 以及由 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法 ， 會求分段函數(shù)的導數(shù)。 【 主要內(nèi)容 】 一、導數(shù)的概念 導數(shù)與微分 設函數(shù) 在點 及其附近有定義 )(xfy ?0x當 在 處取得改變量 時，相應地 0xx x?導數(shù)的定義 函數(shù)有改變量 )()( 00 xfxxfy ?????若極限 xyx ???? 0limxxfxxfx ???????)()(lim 000導數(shù)與微分 存在，則稱該極限值為函數(shù) 在 )( xfy ?0x點 處的導數(shù)，記作 )。( 0xf ? ,|0xxy ??或 ,|0xxdxdy?0|)( xxdxxdf?即 xxfxxfxyxfxx ?????????????)()(limlim)( 00000在 點是可 這時，我們說函數(shù) 0x)(xfy ?導的，否則稱函數(shù) 在 點不可導 0x)(xfy ?導數(shù)與微分 導數(shù)的另一種表示形式： 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx ?????或 hxfhxfxfh)()(lim)( 0000?????若 ，則等價形式為： 00 ?x0( ) ( 0 )( 0 ) l im0xf x ffx??? ??導數(shù)與微分 說明： 對于函數(shù) 在點 處可導的定義， )(xf0x需要更進一步的理解為結(jié)構式是： 00lim)(??? xf)() 0xf??0(xf其中方塊 為 或 的函數(shù)，且 x? x?.0?當 時， 0??x只要符合上面 的導數(shù) 的結(jié)構式，其極限值也為函數(shù)在 點 0x已知： 函數(shù) 在 處可導， 例 1 0xx ?)(xf6)( 0 ?? xfhxfhxfh)()(lim)1( 000???、且 求： hxfhxfh)()(lim)2( 000???、hxfhxfh)()2(lim)3( 000???、解： ???? hxfhxfh)()(lim)1( 000、 )( 0xf ? 6?導數(shù)與微分 0lim)2( ?h、 0lim?? h)]()([ 00 xfhxf ????)]()([ 00 xfhxf ??h)( 0xf ???6??0lim?? h)]()2([ 00 xfhxf ??h20lim)3( ?h、)]()2([ 00 xfhxf ??h2)(2 0xf ??12?h導數(shù)與微分 練習 設函數(shù) 在 處可導，且 2?x)(xf1)2( ??f????? hhfhfh 2)2()2(lim0則 若 ， ，則 1)(0 ?? xf 0)( 0 ?xf_ _ _ _ _ _ _ _)1(lim 0 ???? hxhfh設 ，則 1)1( ??f________1)1()(lim21 ???? xfxfx導數(shù)與微分 在點 可導，且 則 )(xfy ?_ _ _ _ _ _ _ _)1( ?f1?x 2)(lim1 ?? xfx2( )時 , 有 41)()2(lim000???? xfxxfxx?? )( 0xf 在 處可導， 0xx ?)(xf 當 練習 hhfhfh 2)2()2(lim0?????1)2(1 ??f?、導數(shù)與微分 0( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )l im2hf h f f f hh?? ? ? ? ??00( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )l im l im22hhf h f f f hhh??? ? ? ???001 ( 2 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 )l im l im22hhf h f f h fhh??? ? ? ???001 ( 2 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 )l im l im22hhf h f f h fhh? ? ?? ? ? ????(2)f ?? 1?，、 1)(2 0 ?? xf? 0)( 0 ?xf)1(lim 0hxhfh????hhxfh 1)1(lim0????hxfhxfh 1)()1(lim00?????)( 0xf ???1??000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx ?????1)1(3 ??f?、1)1()(lim21 ???? xfxfx )1)(1()1()(lim1 ????? xxfxfx)1(21 f ??21?0005. l im( 2 ) ( )xxf x x f x? ??xxfxxfx )()2(1lim000 ???? )(210xf ???41?2)( 0 ???? xf導數(shù)與微分 左、右可導 稱 0000( ) ( )l im l imxxf x x f xyxx??? ? ? ?? ? ?? ???0000( ) ( )l im ( )xxf x f x fxxx? ??? ????為函數(shù) 在 點處的左導數(shù)。 )(xf0x稱 0000( ) ( )l im l imxxf x x f xyxx??? ? ? ?? ? ?? ???導數(shù)與微分 為函數(shù) 在 點處的右導數(shù)。 )(xf0x0000( ) ( )l im ( )xxf x f x fxxx? ??? ????說明： )()( 00 xfxf ?? ????函數(shù) 在 )(xf0x點處可導 討論 在 處的連續(xù)性與可導性。 )(xf例 2 ?????????????101101)1ln ()(xxxxxxf0?x已知： 解： ??? )0(f?0)0()(lim0 ???? xfxfx xxx)1ln (lim0????1?)0(??fxfxfx)0()(lim0???? xxxx??????11lim01?在 處可導，從而也連續(xù)。 ? )(xf 0?x導數(shù)與微分 導數(shù)與微分 區(qū)間可導 區(qū)間 內(nèi)可導： ),( ba 若函數(shù) 在 內(nèi)每一點都可 )(xfy ? ),( ba)(xf ),( ba導，則稱函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導。 區(qū)間 內(nèi)可導： ],[ ba在區(qū)間 內(nèi)可導，且在左端點 ),( ba)(xf a存在右導數(shù) (即 存在 ),在 axafxfax ????)()(lim右端點 存在左導數(shù) ( 存在 )。 bbxbfxfbx ????)()(lim， 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù) . . 【 說明 】 導數(shù)與微分 導數(shù)的幾何意義 就是曲線 在點 )(xfy ? ),(000 yxM處的切線的斜率。 即 0 0( ) l im ta n ( )2xyk f xx???????? ? ? ??切函數(shù) 在點