微分中值定理與導數應用內容提要典型例題(已修改)
2025-05-11 06:27 本頁面
【正文】 返回 后頁 前頁 167。 8 微分中值定理與導數的應用 二、典型例題 一、內容提要 習題課 返回 后頁 前頁 一、內容提要 1. 理解羅爾 (Rolle) 定理和拉格朗日 (Lagrange)定理 . 2. 了解柯西 (Cauchy)定理和泰勒 (Taylor)定理 . 3. 理解函數的極值概念 ,掌握用導數判斷函數 的單調 性和求極值的方法 . 5. 會用洛必達 (L,Hospital)法則求不定式的極限 . 4. 會用導數判斷函數圖形的凹凸性 ,會求拐點 。 會求解最大值和最小值的應用問題 . 會描繪函數的圖形 (包括水平 ,鉛直和斜漸近線 )。 返回 后頁 前頁 洛必達法則 Rolle 定理 Lagrange 中值 定理 常用的 泰勒公式 型00 ,1,0 ??型??? 型??0型00型??Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 xxF ?)()()( bfaf ?0?ngfgf 1?? fgfggf 11 11 ????取對數令 gfy ? 單調性 ,極值與最值 , 凹凸性 ,拐點 ,函數 圖形的描繪 。求根方 法 . 導數的應用 返回 后頁 前頁 )()( bfaf ? 羅爾定理 0)( ?? ?f)()()()()()(??FfaFbFafbf????? 拉格朗日中值定理 )()()(bfafxxF??10)1( ))(()!1(1 ?? ???nn xxfn ? 柯西中值定理 xxF ?)( 泰勒中值定理 nn xxxfn ))((!100)( ??? ?) )( ( ) ( ) ( 0 0 0 x x x f x f x f ? ? ? ? a b a f b f f ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( ? 0 ? n 返回 后頁 前頁 2. 微分中值定理的主要應用 (1) 研究函數或導數的性態(tài) (3) 證明恒等式或不等式 (4) 證明有關中值問題的結論 (2) 證明方程根的存在性 返回 后頁 前頁 利用 一般解題方法 : 證明含一個中值的等式或根的存在 , 若結論中涉及到含中值的兩個不同函數 ,可考慮用 若已知條件中含高階導數 , 若結論中含兩個或兩個以上的中值 , (1) 可用原函數法找輔助函數 . (2) 柯西中值定理 . 中值定理 . (3) (4) 有時也可考慮 多考慮用 泰勒公式 , 逆向思維 , 設 輔助函數 . 多用 羅爾定理 , 必須 多次應用 對導數用中值定理 . 返回 后頁 前頁 (1) 研究函數的性態(tài) : 增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點 , 漸近線 , (2) 解決最值問題 ? 目標函數的建立 ? 最值的判別問題 (3)其他應用 : 求不定式極限 。 幾何應用 。 證明不等式 。 研究方程實根等 . 返回 后頁 前頁 二、典型例題 例 證明方程 cbacxbxax ????? 234 23在 (0,1)內至少有一實根 [分析 ] 如令 )(234)( 23 cbacxbxaxxf ??????)1(),0( ff則 的符號不易判別 不便使用介值定理 , 用 Rolle 定理來證 證 令 xcbacxbxaxxf )()( 234 ??????則 內可導上連續(xù)，在 )1,0(]1,0[)( xf且 0)1()0( ?? ff故由 Rolle 定理知 0)()1,0( ???? ?? f使即 cbacxbxax ????? 234 23 在 (0,1)內有一實根 返回 后頁 前頁 例 Rolle 定理的推廣形式 ① 0)(),()(lim)(lim),()(??????? ???? fbaxfxfbaxfbxax，使則內可微，且在若證 ??????????? ??baxxfxfbaxxfxFbxax,)(lim)(lim),()()(令內可微上連續(xù)在則 ),(,],[)( babaxF)()( bFaF ?且 由 Rolle 定理知 0)(),( ????? ?? fba返回 后頁 前頁 ② 0)(),()(lim)(lim),()(????????????????????? fxfxfxfxx，使則內可微，且在若證一 )2,2()( t a n)(????? ttftF記則由題設知 AxftFxt????????)(lim)(lim02?AxftFxt???????)(lim)(lim02?存在且 ttftF 2s e c)( t a n)( ????故由①知 0s e c)( t a n)(),2,2( 2 ???????? ttfF ???? 使
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