微分中值定理與導數(shù)應用內容提要典型例題-展示頁
2025-05-08 06:27本頁面
【正文】 )(lim)(lim),()(????????????? ??? faxfxfaxfxax，使則內可微，且在若證一 類似于②證一，作變換 )2,0(t a n ???? ttax返回 后頁 前頁 證二 作變換 11??? axt 11 ???? atx證三 若 Axf ?)( 則結論顯然成立 下設 Axf ?)(不妨設有 Axfax ???? )(),( 00 使知由 Axfxf xax ?? ???? ? )(lim)(lim)( 00 xfA ???對時，有當 ),(,||,|,| 00 ?? ??????? aaxXxaxxXAxfAxf ??? )()( 0 )()( 0xfxf ??返回 后頁 前頁 上連續(xù)在又 ],[)( Xaxf ??必存在最小值 m 即 mfXa ???? )(],[ ??? 使)()()(),(,||0 ??fmxfxfaaxXx??????都有時，又當上的最小值在也是 ),()()( ?????? xfmf ?故由 Fermat 定理 知 0)( ?? ?f④ 0)(),()(lim)(lim),()(???????????????? fbxfxfbxfbxx，使則內可微，且在若證明與③類似 返回 后頁 前頁 在 內可導 ,且 證明 : 在 內有界 . 證 ,),(0 bax ? 再取異于 0x 的點 ,),( bax ?在以 xx ,0 為端點的區(qū)間上用 ))(()()( 00 xxfxfxf ???? ?)( 0 之間與介于 xx??)()( 0 abMxf ??K? 定數(shù) 對任意 ,),( bax ? ,)( Kxf ?即證 . 例 取點 拉氏定理 , ))(()()( 00 xxfxfxf ???? ?00 )()( xxfxf ??? ??返回 后頁 前頁 例 且 試證存在 證 欲證 ,2 )()( ??? fbaf ????因 f(x)在 [a ,b]上滿足拉氏中值定理條件 , 故有 ),(,))(()()( baabfafbf ????? ??,],[)( 2 上滿足柯西定理條件在及又因 baxxf將 ①代入② ,化簡得 故有 ① ② ),(2)( ??? fbaf ???? ),(, ba???即要證 .2 )())(( 22 ??? fab abf ??? ??返回 后頁 前頁 .)()(,)1,0(,:,1)1(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(bafbfabaffxf??????????? 使內存在不同的在對任意給定的正數(shù)試證且內可導在上連續(xù)在設例 證 ,均為正數(shù)與 ba? 10 ???? ba a,]1,0[)( 上連續(xù)在又 xf? 由介值定理 , ,)( ba af ???使得 ),1,0(??存在有上分別用拉氏中值定理在 ,]1,[],0[)( ??xf返回 后頁 前頁 ),0(),()0()0()( ????? ????? fff)1,(),()1()()1( ????? ????? fff（ 1） （ 2） ,1)1(,0)0( ?? ff注意到 由（ 1） , （ 2）有 ))(())((1 bafbbafa?????? ??)(?fbaa???（ 3） （ 4） )( )(11 ? ?? f f???? )(?f bab???（ 3） + （ 4） , 得 )()(???ff??.)()( baf bf a ?????? ??返回 后頁 前頁 例 ).0(,1 1)11l n ( ???? xxx證 法一 用單調性 設 xxxf ???? 11)11l n ()(即 xxxxf ????? 11ln)1l n ()(由 ??????? 2)1( 111 1)( xxxxf 2)1( 1xx ?? ,0?,0時當 ?x )(xf證明不等式 ?????????????? ???????? xxxfxx 1111lnl i m)(l i m 0?11 ( 0 , )xx??? ? ??????返回 后頁 前頁 ,0時當 ?x可知 , ,0)( ?xf即 ).0(,1 1)11l n ( ???? xxx法二 用 Lagrange定理 ).0(,1 1)11l n ( ???? xxx證明設 ,ln)( xxg ? ]1,[ ?xx Lagrange定理 ??? xx ln)1l n ( 1??? xx ?),1(1 xx ???,111x???由 得 ).0(,1 1)11l n ( ???? xxx即 ??? xx ln)1l n (x?11返回 后頁 前頁 例 問方程 )0(ln ?? aaxx 有幾個實根
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