微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用內(nèi)容提要典型例題-文庫(kù)吧資料
2025-05-05 06:27本頁(yè)面
【正文】 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 2. 微分中值定理的主要應(yīng)用 (1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài) (3) 證明恒等式或不等式 (4) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論 (2) 證明方程根的存在性 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 利用 一般解題方法 : 證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 , 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù) ,可考慮用 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 , (1) 可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) . (2) 柯西中值定理 . 中值定理 . (3) (4) 有時(shí)也可考慮 多考慮用 泰勒公式 , 逆向思維 , 設(shè) 輔助函數(shù) . 多用 羅爾定理 , 必須 多次應(yīng)用 對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) (1) 研究函數(shù)的性態(tài) : 增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點(diǎn) , 漸近線 , (2) 解決最值問(wèn)題 ? 目標(biāo)函數(shù)的建立 ? 最值的判別問(wèn)題 (3)其他應(yīng)用 : 求不定式極限 。 會(huì)求解最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題 . 會(huì)描繪函數(shù)的圖形 (包括水平 ,鉛直和斜漸近線 )。返回 后頁(yè) 前頁(yè) 167。 8 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 二、典型例題 一、內(nèi)容提要 習(xí)題課 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 一、內(nèi)容提要 1. 理解羅爾 (Rolle) 定理和拉格朗日 (Lagrange)定理 . 2. 了解柯西 (Cauchy)定理和泰勒 (Taylor)定理 . 3. 理解函數(shù)的極值概念 ,掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù) 的單調(diào) 性和求極值的方法 . 5. 會(huì)用洛必達(dá) (L,Hospital)法則求不定式的極限 . 4. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性 ,會(huì)求拐點(diǎn) 。 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 洛必達(dá)法則 Rolle 定理 Lagrange 中值 定理 常用的 泰勒公式 型00 ,1,0 ??型??? 型??0型00型??Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 xxF ?)()()( bfaf ?0?ngfgf 1?? fgfggf 11 11 ????取對(duì)數(shù)令 gfy ? 單調(diào)性 ,極值與最值 , 凹凸性 ,拐點(diǎn) ,函數(shù) 圖形的描繪 。 幾何應(yīng)用 。 研究方程實(shí)根等 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二、典型例題 例 證明方程 cbacxbxax ????? 234 23在 (0,1)內(nèi)至少有一實(shí)根 [分析 ] 如令 )(234)( 23 cbacxbxaxxf ??????)1(),0( ff則 的符號(hào)不易判別 不便使用介值定理 , 用 Rolle 定理來(lái)證 證 令 xcbacxbxaxxf )()( 234 ??????則 內(nèi)可導(dǎo)上連續(xù)，在 )1,0(]1,0[)( xf且 0)1()0( ?? ff故由 Rolle 定理知 0)()1,0( ???? ?? f使即 cbacxbxax ????? 234 23 在 (0,1)內(nèi)有一實(shí)根 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 Rolle 定理的推廣形式 ① 0)(),()(lim)(lim),()(??????? ???? fbaxfxfbaxfbxax，使則內(nèi)可微，且在若證 ??????????? ??baxxfxfbaxxfxFbxax,)(lim)(lim),()()(令內(nèi)可微上連續(xù)在則 ),(,],[)( babaxF)()( bFaF ?且 由 Rolle 定理知 0)(),( ????? ?? fba返回 后頁(yè) 前頁(yè) ② 0)(),()(lim)(lim),()(????????????????????? fxfxfxfxx，使則內(nèi)可微，且在若證一 )2,2()( t a n)(????? ttftF記則由題設(shè)知 AxftFxt????????)(lim)(lim02?AxftFxt???????)(lim)(lim02?存在且 ttftF 2s e c)( t a n)( ????故由①知 0s e c)( t a n)(),2,2( 2 ???????? ttfF ???? 使返回 后頁(yè) 前頁(yè) 而 0se c 2 ?t ),(t a n0)( ????????? ???f證二 若 Axf ?)( 則結(jié)論顯然成立 下設(shè) Axf ?)(不妨設(shè)有 Axfx ?????? )(),( 00 使Axf ?? )( 00?記知由 Axfxf xx ?? ?????? )(lim)(lim時(shí)，有當(dāng) XxxX ??? |||,| 00)( ??? Axf )( 0xf?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 上連續(xù)在又 ],[)( XXxf ?必存在最大值 M 即 MfXX ???? )(],[ ?? 使)()()(|| 0 ?fMxfxfXx ???? 時(shí)，有又當(dāng)上的最大值在也是 ),()()( ?????? xfMf ?故由 Fermat 定理 知 0)( ?? ?f③ 0)(),(
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