11-3全微分-方向?qū)?shù)和梯度114-資料下載頁(yè)
2025-07-23 18:41本頁(yè)面
【正文】 關(guān)系 方向?qū)?shù)存在 偏導(dǎo)數(shù)存在 ? ? 可微 lflf eg r a d ????梯度在方向 l 上的投影 . 思考與練習(xí) 函數(shù) ),( yxfz ? 在 ),( 00 yx 可微的充分條件是 ( ) 。),(),()( 00 連續(xù)在 yxyxfA),(),(,),()( 00 yxyxfyxfB yx 在??的某鄰域內(nèi)存在 。 yyxfxyxfzC yx ??????? ),(),()(0)()( 22 ???? yx當(dāng) 時(shí)是無(wú)窮小量 。 22 )()(),(),()(yxyyxfxyxfzD yx??????????0)()( 22 ???? yx當(dāng) 時(shí)是無(wú)窮小量 . 1. 選擇題 Dzfyfxff zyy d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d )0,0,0( ????2. 設(shè) 解 : xxxf c o s3)0,0,( ???? ? 0c o s3)0,0,0( ????? xxxf x 41?利用輪換對(duì)稱性 , 可得 41)0,0,0()0,0,0( ??zy ff)dd(d41 zyx ???注意 : x , y , z 具有 輪換對(duì)稱性 3. 求函數(shù) 在點(diǎn) P(2, 3)沿曲線 朝 x 增大方向的方向?qū)?shù) . 解 :將已知曲線用參數(shù)方程表示為 2)2,1( ?xx它在點(diǎn) P 的 切向量為 ,171c o s ?? α1760?xoy2P??????1 2xyxx)4,1(?174c o s ?β1?可知當(dāng) *二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 1. 利用近似公式作計(jì)算 由全微分定義 )(),(),( ρoyyxfxyxfz yx ??????),( yyxxf ???? yyxfxyxf yx ??? ),(),(較小時(shí) , yyxfxyxfzz yx ?????? ),(),(dzd及 有近似等式 : ?? ),( yf(用于誤差分析 ) (用于近似計(jì)算 ) 半徑由 20cm 增大 解 : 已知 ??V,10 0,20 ?? hr)1( 2 ????????? ππV即受壓后圓柱體體積減少了 例 1. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變 , 到 , 則 rrhπ ?2 hrπ ?? 21, ????? hr)cm(2 0 0 3π??高度由 100cm 減少到 99cm , 體積的近似改變量 . 求此圓柱體 例 的近似值 . 解 : 設(shè) yxyxf ?),( ,則 ?),( yxf x取 ,2,1 ?? yx則 ),( f? ???????),( yxf y,1?yxy xx y ln, ???? yx分別表示 x , y , z 的絕對(duì)誤差限 , 2. 利用近似公式作誤差估計(jì) 利用 yyxfxyxfz yx ????? ),(),(令 z 的 絕對(duì)誤差限 約為 yyxxz yxfyxf δ),(δ),(δ ??z 的 相對(duì)誤差限 約為 yyxxzyxfyxfyxfyxfzδ δ),(),(δ),(),( ??即 則 例 3. 利用公式 CbaS s i n21????????? , Cba求計(jì)算面積時(shí)的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差 . 解： aS aS δδ???aCb δs i n21?1800δ,30,πCbaCba ???????故絕對(duì)誤差約為 又 所以 S 的相對(duì)誤差約為 ????? 30s i bCa δs i n21?CCab δc o s21??計(jì)算三角形面積 .現(xiàn)測(cè)得 bbS δ???CCS δ???例 , 測(cè)得電壓 U = 24 伏 , 解 : 由歐姆定律可知 4624 ??? IUR ( 歐 ) 所以 R 的相對(duì)誤差約為 ??? IUR IUR δδδ ? + ? R 的絕對(duì)誤差約為 ?? RRδ ? ?。 定律計(jì)算電阻 R 時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差 . 相對(duì)誤差為 測(cè)得電流 I = 6安 , 相對(duì)誤差為 ? , = ( 歐 ) = ? 求用歐姆
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