11-3全微分-方向?qū)?shù)和梯度114-文庫吧
2025-07-08 18:41 本頁面
【正文】 導(dǎo)數(shù)不存在，所以）因為在（ )0,0(32. 可微與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的關(guān)系 定理 (多元函數(shù)可微的 充分條件 ) ),(),( yxfyxf yx 和若函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) ,),( 連續(xù)在點 yx則函數(shù) f (x, y) 在該點 可微 . 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 可微 例 3 解 .)s i n( 22 的全微分求函數(shù) yxz ??因為?xz ),c o s ( 22 yx ??yz ),c o s ( 22 yx ?所以 ?zd xyxx d)c o s (2 22 ?).dd)(c o s (2 22 yyxxyx ???x2y2yyxy d)c o s (2 22 ??例 4 計算函數(shù) 在點 (2,1) 處的全微分 . 解 : ???xz22 2)1,2(,)1,2( eyzexz ??????例 5. 計算函數(shù) 的全微分 . 解 : ?ud yy d) c o s( 221 ????yz,yxey yxexzyez求函數(shù) 22 yxxyz??時的全增量和全微分 . 解 z?,1,2???????yyxx22 ??? ?22 1212??? ? 。??22222)(2)(yxxxyyxyxz???????22222)()(yxyxy????? ?),(),( yxfyyxxf ?????? ,1 ,2 ???? ??? yy xx例 6 ,1,2 ??????? yxyx當(dāng) ,5 5 5 ???? xz,1,2???????yyxx ???從而 當(dāng) x = 2 , y =1 , △ x = , △ y = 時 zd,??? yz)(11 ???.??22222)(2)(yxyxyyxxyz???????22222)()(yxyxx???)( yyzxxz ????????,1,2???????yyxx可知當(dāng) 全微分在近似計算中的應(yīng)用 1. 利用近似公式作計算 由全微分定義 )(),(),( ρoyyxfxyxfz yx ??????),( yyxxf ???? yyxfxyxf yx ??? ),(),(較小時 , yyxfxyxfzz yx ?????? ),(),(dzd及 有近似等式 : ?? ),( yf(用于誤差分析 ) (用于近似計算 ) 三、方向?qū)?shù) １ .方向?qū)?shù)的定義 設(shè) l 是 xoy 平面上以 )co s,( co s ???le?),( 000 yxP.c o s,c o s00βtyyαtxx????)0( ?txyo是與 l 同方向的 為始點的 定義 單位向量 . 函數(shù) z = f (x, y) 在點 P0(x0 , y0 ) 的某個鄰域 )( 0PUlle?一條射線， 內(nèi)有定義， )c o s,c o s( 00 βtyαtxP ??為 l上另一點，且 )( 0PUP ?P射線 l 的參數(shù)方程為 ? ? 0P，tPP ?|| 0),()co s,co s( 0000 yxftytxfz ????? ??0)(0limPPzlPPP???若tyxftytxft),()c o s,c o s(lim 00000????????存在， 則稱此極 限為函數(shù) f ( x, y)在點 P0沿方向 l 方向?qū)?shù)， 記作 ,),( 00 yxlf??即 .),()c o s,c o s(lim 00000),( 00 tyxftytxflftyx??????????2186。 方向?qū)?shù)的 幾何意義 過點 P0 沿 l 作垂直于xoy 面的平面， 面與曲面 z = f (x, y)的交線在曲面上相應(yīng)點M 處的切線 (若存在 )關(guān)于 l 方向的斜率 : 該平 lf????ta n0P l ? Tl
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