第2章導(dǎo)數(shù)與微分-文庫(kù)吧
2025-09-11 00:39 本頁(yè)面
【正文】 ) ( ) .y f x f x x x?? ? ?當(dāng) 時(shí) ,曲線 在 的法線方程為 0( ) 0fx? ? ()fx 0M而當(dāng) 時(shí) ,曲線 在 的法線方程為 0( ) 0fx? ? ()fx 0M0()fx? ?? ()fx 0M前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 3 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 解 : (1)求增量 : (2)算比值 : (3)取極限 : 同理可得 : 特別地 , . 2xy ?( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ?2 2 2( ) 2 ( )x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?xxxy ????? 2xxxxyyxx2)2(limlim00????????????為正整數(shù)）nnxx nn ()( 1???11( ) ( )xn? ??前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 4 求曲線 在點(diǎn) 處的切線與法線方程 . 解 :因?yàn)? ,由導(dǎo)數(shù)幾何意義 ,曲線 在點(diǎn) 的切線與法線的斜率分別為 : 于是所求的切線方程為 : 即 法線方程為 : 3xy ? )8,2(23 3)( xx ??3xy ?)8,2(1211,12)3(122221 ???????? ?? kkxyk xx)2(128 ??? xy01612 ??? yx)2(1218 ???? xy即 09812 ??? yx前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 定理 2 若函數(shù) y = f (x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo)， 則 f(x)在點(diǎn) x0 處連續(xù) . 證 因?yàn)?f (x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo)，故有 0 0( ) lim .xyfxx???? ??根據(jù)函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系 ,可得 : 0 0( ) l i m 0 .xy fxx ?? ??? ?? ? ?? ， 其 中兩端乘以 得 : 0()y f x x x??? ? ? ? ? ? ?x?由此可見(jiàn) : 000li m li m ( ( ) ) 0 .xx y f x x x?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?即函數(shù) y = f (x)在點(diǎn) x0 處連續(xù) .證畢 . 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 5 證明函數(shù) 在 x=0處連續(xù)但不可導(dǎo) . ||yx?證 因?yàn)? 0li m | | 0x x? ?所以 在 x =0連續(xù) ||yx?00( 0) l i m l i m 1xxyxfxx??? ? ? ? ???? ???1limlim)0(00?????????? ??????? xxxyfxx而 即函數(shù) 在 x=0處左右導(dǎo)數(shù)不相等 ,從而在 ||yx? x=0不可導(dǎo) . 由此可見(jiàn)，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可 導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件 即可導(dǎo)定連續(xù) ,連續(xù)不一定可導(dǎo) . 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 設(shè)函數(shù) u(x)與 v(x) 在點(diǎn) x處均可導(dǎo)，則 : 定理一 ( 1 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) 。u x v x u x v x? ? ?? ? ?( 2 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ,u x v x u x v x u x v x? ? ???uCCuCCxv ???? ) (,()(, 則為常數(shù)）特別地2)]([)()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu ???????????( ) 1 ,ux ? 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 求導(dǎo)法則 特別地 ,如果 可得公式 21 ( ) ( ( ) 0 )( ) [ ( ) ]vx vxv x v x? ??? ???????前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) wvuwvu ????????? )(注：法則（ 1）（ 2）均可推廣到有限 多個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形 wuvwvuvwuu v w ???????)(例：設(shè) u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點(diǎn) x處均 可導(dǎo)，則 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) )3lns i n( 3 ?????? xexy x解： )3( l n)( s i n)()( 3 ???????? xex xxex x c o s3 2 ???例 2 設(shè) 5 2 ,xy x y ?? 求)(52)(5 ???? xx 2xx解： )25( ??? xxy2ln25225 xx xx???yxexy x ????? ，求設(shè) 3lns i n3例 1 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) )( t a n ??? xy )c o ss in( ??xx解： xxxxx2c o s)( c o ss i nc o s)( s i n ????xxx222c o ss i nc o s ?? xx22 s e cc o s1 ??即 2( t a n ) s e cxx? ?2( c o t ) c s cxx? ??類似可得 例 3 求 y = tanx 的導(dǎo)數(shù) 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) )c o s1( ??xxx2c o ss in?)( s e c ??? xy解： xxt a nc o s1 ??xx t a ns e c ??即 ( s e c ) s e c t a nx x x? ??( c s c ) c s c c o tx x x? ? ? ?類似可得 例 4 求 y = secx 的導(dǎo)數(shù) 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 定理二 )( xu ??如果函數(shù) 在 x處可導(dǎo)，而函數(shù) y=f(u)在對(duì)應(yīng)的 u處可導(dǎo)， 那么復(fù)合函數(shù) )]([ xfy ?? 在 x處可導(dǎo)，且有 d y d y d ud
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