第2章導(dǎo)數(shù)與微分(存儲版)
【正文】 看成 )( ty ??與 )(1 xt ?? ? 復(fù)合而成的函數(shù)， 根據(jù)求導(dǎo)法則有： 求得 y對 x的導(dǎo)數(shù) 對參數(shù)方程所確定的函數(shù) y=f(x),可利用參數(shù)方程直接 d y d y d td x d t d x??dtdxdtdy 1??)(1)(tt ?? ????()()tt?????此即參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)公式 變量 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系有時是由參數(shù)方程 )()({txty????確定的，其中 t 稱為參數(shù) 前頁 結(jié)束 后頁 解： 曲線上對應(yīng) t =1的點（ x, y)為（ 0,0） , 曲線 t =1在處的切線斜率為 1??tdxdyk12231???ttt122 ???于是所求的切線方程為 y =－ x 123{????txtty求曲線 在 t =1處的切線方程 例 13 前頁 結(jié)束 后頁 ??????? dxdydxddx yd 22即 ,)( ????? yy ])([)( ????? xfxf 或 22 )(dxxfd,y??記作 ),(xf ??22dxyd 或 二階導(dǎo)數(shù)： )( xfy ???如果函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) 仍是 x的可導(dǎo) 函數(shù)，就稱 )( xfy ??? 的導(dǎo)數(shù)為 f(x)的二階導(dǎo)數(shù)， n階導(dǎo)數(shù)： ( ) ( )( ) ( )n nnnd d d d yf x f x yd x d x d x d x? ? ?二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù)的計算： 運用導(dǎo)數(shù)運算法則與基本公式將函數(shù)逐次求導(dǎo) 高階導(dǎo)數(shù) 前頁 結(jié)束 后頁 ,ln aay x??解： nxn aay )( l n)( ?,)( l n 2aay x??? ,特別地 ,)( xx ee ??xnx ee ?)()(,)( xx ee ??? ,例 15 )(,s i n nyxy 求設(shè) ???????? ???? )2s i n ( ?xy )2c o s (??? x )22s i n (???? x解： )( s in ??? xy xcos?)2s i n ( ??? x??????? ?????? )22s i n ( ?xy )23s i n ( ???? x…… )2s i n ()( ???? nxy n即 ()( s i n ) s i n ( )2nx x n ?? ? ?同理 ()( c o s ) c o s ( )2nx x n ?? ? ?)(, nx yay 求設(shè) ?例 14 前頁 結(jié)束 后頁 解 如圖，正方形金屬片的面 積 A 與邊長 x 的函數(shù)關(guān) 系 為 A = x2 , 受熱后當(dāng)邊長由 x0伸長到 x0+ 時 , 面積 A 相應(yīng)的增量為 x? 微分的概念 例 1 設(shè)有一個邊長為 x0的正方形金屬片，受熱后它的 邊長伸長了 ，問其面積增加了多少？ x?202020 )(2)( xxxxxxA ????????? 微分 前頁 結(jié)束 后頁 的線性函數(shù) 同階的無窮小；時與是當(dāng) xxxx ???? 0,20從上式可以看出， xA ?? 是分成兩部分：第一部分 xA ?? 是分成兩部分：第一部分高階的無窮小。 0( ) 0fx? ?，且 x? 很小時，我們有近似公式 在 x0 點的導(dǎo)數(shù) ()y f x?由微分的定義可知，當(dāng)函數(shù) 前頁 結(jié)束 后頁 注： 在求 )(xf 的近似值時，要選擇適當(dāng)?shù)? 0x，使 )( 0xf ， )( 0xf ? 容易求得，且 0xx ?較?。? 應(yīng)用（ 3）式可以推得一些常用的近似公式 ,當(dāng) x 很小時 ,有 (1) xx ?sin （ ｘ 用弧度作單位） (3) xe x ?? 1(4) xx ?? )1ln ( (5) xnxn 111 ???(2) xx ?ta n (ｘ 用弧度作單位） 前頁 結(jié)束 后頁 例 6 .46s i n 的近似值計算 ?則 1 8 010???? ?xx解 : 設(shè) ,s in)( xxf ? 取 ?46?x ， 4450??? ?x于是由（ 2）式得 ).(c o ss i ns i n 000 xxxxx ???? 22 2 ???? ?1804c o s4s i n46s i n??? ????即 。xx ?????????????或 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 前頁 結(jié)束 后頁 導(dǎo)數(shù)定義與下面的形式等價： .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ?????若 y =f (x)在 x= x0 的導(dǎo)數(shù)存在，則稱 y=f(x)在點 x0 處可導(dǎo)，反之稱 y = f (x)在 x = x0 不可導(dǎo)，此時意味著不存在 .函數(shù)的可導(dǎo)性與函數(shù)的連續(xù)性的概念都是描述函數(shù)在一點處的性態(tài)，導(dǎo)數(shù)的大小反映了函數(shù)在一點處變化 (增大或減小 )的快慢 . 前頁 結(jié)束 后頁 左導(dǎo)數(shù) : .)()(lim)( 0000 xxfxxfxfx ?????????? 右導(dǎo)數(shù) : .)()(lim)( 0000 xxfxxfxfx ??????????顯然可以用下面的形式來定義左、右導(dǎo)數(shù) ,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ??????? .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ???????定理 y = f (x)在 x =x0可導(dǎo)的充分必要條件是 y = f (x)在 x=x0 的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等 . 前頁 結(jié)束 后頁 當(dāng)自變量 從變化到 時，曲線 y=f(x)上的點由 變到 )).(,( 00 xxfxxM ????此時 為割線兩端點 M0， M的橫坐標(biāo)之差，而 則為 M0， M 的縱坐標(biāo)之差，所以 即為過 M0， M兩點的割
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