【正文】 每一點處都 可導 , 則稱函數(shù) y = f(x)在區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導 . 若函數(shù) y = f(x)在 (a, b)內(nèi)可導 ,且在 x = a處右 可導 ,在 x = b處左可導 ,則稱函數(shù) y = f(x)在閉 區(qū)間 [a, b]上可導 . 其它區(qū)間？ （ 5） 若函數(shù) y = f(x)在區(qū)間 I內(nèi)可導 , 則 ?x?I, 有 唯一確定的 f39。 y??(?1)= f??(?1) =1。 (ii) 連續(xù)但不可導 。 (2) )1l n ()( 2 xxxfy ??? ,求 )0()2(f. 四 隱函數(shù)的導數(shù) , 參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù) 隱函數(shù)的導數(shù) （ 1）定義 若存在一個定義在某個區(qū)間上的函數(shù) y = f(x), 使得 F(x, f(x))≡0, 則稱 y = f(x) 為由方程 F(x, y)=0所確定的 隱函數(shù) . ? （ 2）問題 由方程 F(x, y)=0常常難以得到 隱函數(shù) y = f(x). 對函數(shù) y = f(x), 人們感興趣的是導數(shù) ——f‘(x), 而不是函數(shù) y = f(x)的表達式。 dv, d(uv)= vdu+udv, ? 2. 復合運算 設函數(shù) y = f [g(x)]由可微函數(shù) y = f(u)與 u = g(x) 復合而成 , 則有 dy = f ?(u)du, du = g?(x)dx, 另一方面 , 這就是說 , 不論 u是自變量還是中間變量 , 函數(shù) y = f(u)的微分在形式上都是 dy = f ?(u)du. 我們把這一性質(zhì)稱為一元函數(shù)的 一階微分 dy =[ f(g(x))]?dx = f ?(u)g?(x)dx = f ?(u)du. 形式不變性 . ? .ddxy,d)s i n(d2)(d xxyyxye xy ??????,d)s i n(d2)dd( xxyyyxxye xy ?????.d)s i n(d)2( xxyeyyxe xyxy ????,d2s i nd xyxexyeyxyxy???? .2s i nddyxexyexyxyxy????3. 例子 例 1設函數(shù) y = f(x)由 exy+y2 =cosx確定 , 求 dy以及 解 : 等式兩邊求微分得 : 即 于是 整理得 ? 三 . 微分在近似計算中的應用 當 |?x|充分小時 , f(x0+?x) ? f(x0)+ f ?(x0)?x. 例 2 設 y = esinx， 求 dy. dy = esinxd(sinx) = esinxcosxdx. ? 引例解答 : 0 0 的近似值 . 取 f(x)=x1/2 , x0=100， ?x=0 . 1， 則由 f(x0+?x) ? f(x0)+ f ?(x0)?x 有 1002 ????167。(x) + 0 ? 不存在 ? 0 + f(x) ↗ ↘ ↘ ↗ ? 由上表可見 f(x)在 (?∞ , ?1)和 (1, +∞ )內(nèi)嚴格 單調(diào)增 , 在 (?1, 0)和 (0, 1)內(nèi)嚴格單調(diào)減 .f(x)的圖形如上 . ?211xe x .222xex,2xex4)2()(xxxexf x ???211xex222xex(2) 設 0 x1 x22. 試比較 和 的大小 . 解 : 令 f(x) = 則 f(x)在 (0, 2)內(nèi)連續(xù) , 可導 , 且 0 (0 x 2). 故 f(x)在 (0, 2)內(nèi)嚴格單調(diào)減 , 所以當 0 x1 x22時 ? 利用單調(diào) 性證明不等式 ！ 思考題 22 1)1l n (1 xxxx ?????， 0?x（ 2） 證明 ： 0?x 時 ， 2111)1( xx ex ?? ??（ 3） 設 eba ?? ， 證明 ： ab ba ?（ 1） 證明 ： 時 ， ； ； 提示： 對所要證明的不等式兩邊取對數(shù)。 或者說，在知道函數(shù)的單調(diào)性時，必須知道其 圖形 是形如上圖中 黃線的形狀 還是形如上圖中 藍線的形狀 ？ 黃線的形狀 ——向上凹的曲線； 藍線的形狀 ——向上凸的曲線。 ? ,)(lim ????? xfax,)(lim ????? xfax,)(lim ????? xfax.)(lim ????? xfax.)(lim bxfx ????,)(lim bxfx ????,])([lim bkxxfx ????? .)(l i m kx xfx????,])([lim bkxxfx ????? ,)(l i m kxxfx????(1) 垂直漸近線 : x = a ① ② ③ ④ (2) 水平漸近線 : y = b ① ② (3) 斜漸近線 : y = kx+b ① ② 2 分類 ? 二、 函數(shù)作圖的一般步驟 (1) 求定義域 (2) 討論一些特性 , 如奇偶性 , 周期性 (3) 求間斷點與零點 (4) 討論單調(diào)區(qū)間與極值 (5) 討論圖形的凸向與拐點 (6) 討論函數(shù)的漸近線 (7) 列表 (8) 作圖 ? (2) 曲率圓與曲線 C的關系 : 曲線 C在點 M處與其曲率 圓有相同的切線和曲率 , 在點 M附近與其曲率圓有 相同的凸向 , 即曲線 C在 點 M處與其曲率圓有相同 的一階導數(shù)和二階導數(shù) . (3) 在實際問題中 , 常用曲率圓在點 M附近的一 段圓弧近似代替曲線上的弧 , 以使問題簡化 . ? (4) 例子 : 設工件內(nèi)表面的截線為拋物線 y2 = 4x. 現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面 .試問直徑多大的 砂輪比較適合 ? ,42 ??yy ,2yy ?? ,4232 yyyy ???????232 ])(1[ yyK?????.)1(2 1 23x??,21解 : 當 x = 0, y = 0時 , K取得最大值 ρ取得最小值 2. 故選用直徑不超過 4個單位長度的砂輪比較 合適 . ? 。我們知道函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性，自然地提出問題：能否由單調(diào)性大致作出函數(shù)在此區(qū)間上的圖形？很多同學認為，區(qū)間太長有問題，而區(qū)間較短時沒有問題?！?xxx lnlim0 ?????? ?? xxxlnlim0101lim ??? ??? ?? xxx ??xx???? 0lim設 ? 0, 則 = 0. (2) ∞ ?∞ = +∞ . ????????????? 1limxexe xxx )1(l i m????? xxe xx 12lim ????? xe xx2limxxe????? 210s i nl i m xx xx??????????????? xxxxes i nln102l i m??????? xxxxs i nln1lim20 xxxx 21c o tlim0??? xxxxxx s i n2s i nc oslim20???30 2s i nc oslimxxxxx??? 20 6s i nl i mxxxx???.61??210s i nl i m xx xx???????.16 e?(3) 1∞ 因此 ,s i nln1lim20 ???????? xxxxe? ? ? xxx s i n0c otl i m ??,c o tlns i nlim 0 xxxe ???xxx c o tlns inlim 0 ?? x xx c s cc otlnl i m0 ??? xxxxx c otc s ctanc s clim 20 ?????xxx 20 c oss i nlim??? ? ? .1c o tlim s i n0???xxx(4) ∞0 = 0. 因此 xx xs in0lim ??,lns i nlim 0 xxxe ???xxx lns inlim0 ??xxx c s clnlim0 ??? xxxx c otc s c1lim0 ????xxxx c o ss i nl i m 20 ???? .1lims i n0 ???xx x(5) 00 = 0. 因此 ? 21lim1 ??? xxxxxxxs i nlim ???xxxxx eeee????? ??lim,21li m1 ??? xxx,32?,s i nlim x xxx???)s i n1(l i m x xx????.l i m xxxxx eeee????? ??xxx ee2211l i m????? ???四 . 不可用洛必達法則的情形 . (1) (2) (3) 事實上 , =1, =1. ? .)]1l n (1[)(lim 30 xxxxfx????30)]1l n (1[)(limxxxxfx????3223320)](o211[)](o[l i mxxxxxxxxxx??????????.23)(o23l i m 3330?????? xxxx例 設函數(shù) f(x)四階可導 , 且 f(0) = 0, f ?(0) = –1, f ??(0) = 2, f ???(0) = –6, 求 解 : ? ,)( )( ] ,[ n baCxf ? ,)( )1( ) ,( ?? n baCxfknkkxxk xf )(! )( 000)(???七、 帶拉格朗日余項的泰勒公式 設函數(shù) 且 x, x0?[a, b], 則 f(x)= 記 g(x)=(x?x0)n+1, 則 10 )()(?? nnxxxr g(x0)=g?(x0)=… =g(n)(x0)=0, g(n+1)(x)= (n+1)!, r(x0)=r?(x0)=… =r(n)(x0)=0, r(n+1)(x0)= f (n+1)(x). + rn(x). )()()()(0100xgxxxrxrnnn????? nnxnr))(1()(011??????.)!1( )()1(????nf n ??)())(1()()(00101xgxnxrrnnn??????????1022)()1()(??????nnxnnr??? ,)( )( ] ,[ n baCxf ? ,)( )1( ) ,( ?? n baCxfknkkxxk xf )(! )( 000)(???10)1()()!1( )( ????? nnxxnf ?定理 設函數(shù) 且 則 ?x, x0?[a, b], 有 f(x)= 其中 ?介于 x與 x0之間 . 拉格朗日余項 注 ① 特殊情形 : (i) n = 0時 , f(x)= f(x0)+ f ?(?)(x?x0). (ii) x0=0時 , 帶拉格朗日余項的 麥克勞林公式 knkkxkfxf ???0)(!)0()( ,)