【正文】 反射光線的方向取決于入射點(diǎn)和該點(diǎn)處 的切線 . 從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射 后必經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn) . 167。 1 導(dǎo)數(shù) 1. 切線問(wèn)題 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 零 . 引例 ? 因而切線 MT的斜率為 00 )()(tanxxxfxf????,)()(limtan000 xxxfxfxx ?????.l i mta n0 xyx ??????取割線 MN, 當(dāng) x→ x0時(shí) , 割線 MN→ 切線 MT, 即 其斜率為 平面曲線 C在其上點(diǎn) M的切線的斜率 : 即 ?x = x ? x0 ?0時(shí) , ? 公路 (包括高速公路 )上為了保證行車(chē)安全 ,交通管理部門(mén)在許多路段規(guī)定行車(chē)速度 .利用測(cè)控技術(shù) ,交通警察實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)各通行車(chē)輛的行車(chē)速度 . 物理原理是什么 ?如何計(jì)算 ? 設(shè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng) ,其所走路程 s與時(shí)間 t的函數(shù)關(guān)系為 s=f(t),求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度 (的大小 )v=v(t). 如果質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng) ,則問(wèn)題簡(jiǎn)單 v=v(t)=s(t)/t. 對(duì)于一般的直線運(yùn)動(dòng) ,質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t0到 t0+Δt這段時(shí)間所走路程為 Δs=f(t0+Δt)f(t0) 于是 ,質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t0附近的平均速度為 ttfttfts??????? )()( 00 由極限的思想 ,質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t0的 (瞬時(shí) )速度為 ttfttftstt ???????????)()(l i ml i m 0000從而質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t的 (瞬時(shí) )速度為 ttfttftstt ???????????)()(l i ml i m00 在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)中還有很多問(wèn)題，如比熱、密度、增長(zhǎng)率等問(wèn)題都可歸結(jié)為求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn) x0形如以下形式的極限問(wèn)題 xxfxxfxyxx ???????????)()(l i ml i m 0000這是數(shù)學(xué)抽象！即不考慮問(wèn)題的實(shí)際意義，只考慮數(shù)量關(guān)系！ 定義 （ 1） 設(shè) y = f(x)定義在 (x0r,x0+r)內(nèi) . 若極限 xxfxxfx ??????)()(lim 000),( 0xf ? ,| 0xxy ?? ,dd0xxxy?或 .d )(d0xxxxf?即 xxfxxfxyxfxx ?????????????)()(l i ml i m)( 00000一 . 導(dǎo)數(shù)的概念 存在 , 則稱(chēng)函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0處 可導(dǎo) , 并稱(chēng)此極限值為 y = f(x)在點(diǎn) x0處的 導(dǎo)數(shù) . 記為 .)()(l i m000 xxxfxfxx ???? ? （ 3） 利用單側(cè)極限 可以 定義 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 則稱(chēng)函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0處 不可導(dǎo) . 特別地 ,若極限值為 ∞ , 則稱(chēng)函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0處的 導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 , 記為 f39。(x)=?. （ 2） 若極限 不存在 , xyx ???? 0lim).( 0xf ??)( 0xf ?? 與 易見(jiàn)函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0可導(dǎo) ? )( 0xf ??)( 0xf ?? 與 均存在且相等 . ? 你能寫(xiě)出嗎？！ 為什么？ （ 4） 若函數(shù) y = f(x)在區(qū)間 (a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都 可導(dǎo) , 則稱(chēng)函數(shù) y = f(x)在區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導(dǎo) . 若函數(shù) y = f(x)在 (a, b)內(nèi)可導(dǎo) ,且在 x = a處右 可導(dǎo) ,在 x = b處左可導(dǎo) ,則稱(chēng)函數(shù) y = f(x)在閉 區(qū)間 [a, b]上可導(dǎo) . 其它區(qū)間？ （ 5） 若函數(shù) y = f(x)在區(qū)間 I內(nèi)可導(dǎo) , 則 ?x?I, 有 唯一確定的 f39。(x)與之對(duì)應(yīng) , 于是得到一個(gè) 定義在 I上的函數(shù) , 稱(chēng)之為函數(shù) y = f(x)在 I上 的 導(dǎo)函數(shù) , 簡(jiǎn)稱(chēng)為 導(dǎo)數(shù) . 記為 xfdd .ddxy或 ? 2. 幾何意義與物理意義 （ 1）幾何意義 若函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo) , 則曲線 y = f(x) 在點(diǎn) (x0, f(x0)) 處有不垂直于 x軸的切線 , 且 f39。(x0)表示該切線的斜率 , ? 于是曲線 y = f(x)在該點(diǎn)處的切線方程為 y ? f(x0) = f39。(x0) (x ? x0), 若 f39。(x0)?0, 則進(jìn)一步可得法線方程為 ).()(1)(000 xxxfxfy ?????若 f ?(x0)=0, 則切線方程為 y = f(x0), 法線方程為 x = x0. 如 y = (x?2)2+1在 x = 2處 . 若 f ?(x0)=?, 則曲線 y = f(x)在點(diǎn) x0處有垂直于 x 軸的切線 , 此時(shí)切線方程為 x = x0, 法線方程為 y = f(x0). 如 在 x = 1處 . 213 ??? xy? （ 2）物理意義 設(shè) 質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)時(shí)間 t的運(yùn)動(dòng)路程為 s=f(t). 函數(shù) s=f(t)在點(diǎn) t0的導(dǎo)數(shù) f‘(t0), 表示質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t0的 (瞬時(shí) )速度。 而函數(shù) s=f(t)在點(diǎn) t的導(dǎo)數(shù) f‘(t), 表示質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻 t的 (瞬時(shí) )速度 v(t)。 對(duì)于速度函數(shù) v=v(t)在點(diǎn) t的導(dǎo)數(shù) v‘(t), 表示質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻 t的 (瞬時(shí) ) 加速度 a(t)。 例題 (1) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (C)? = 0, (x?)? = ?x? ?1 (??R), (sinx)? = cosx, (cosx)? = ?sinx, (ax)? = axlna (a0, a ? 1), (ex)? = ex. ? 解 : ?x?(0, +?), 有 (2) 求 f(x)=log a x的導(dǎo)數(shù) . 特別地 , xxxxxf aax ????????l og)(l oglim)(0xxxax ??????)1(lo gli m0.1)(l n xx ??.ln1 ax?xxxxxax ???????)1(l o glim0? (3) 求分段函數(shù) ??????????????????1 1310 01 1 232xxxxxxxxy 的導(dǎo)數(shù) . 解 : 令 f(x)=x+2, g(x)=x2, h(x)=x3, ? (x)=3x?1. 則 f ?(x)=1, g?(x)=2x, h?(x)=3x2, ? ?(x)=3 (x?R). ① 當(dāng) x?(??, ?1)時(shí) , y = f(x), 故 y?= f ?(x)=1。 y??(?1)= f??(?1) =1。 ② 當(dāng) x?(?1, 0)時(shí) , y = g(x), 故 y?= g?(x)= 2x。 ③ 當(dāng) x?(0, 1)時(shí) , y = h(x), 故 y?= h?(x)= 3x2。 ④ 當(dāng) x?(1, +?)時(shí) , y = ? (x), 故 y?= ? ?(x)=3. y+?(?1)= g+?(?1) = ?2。 y??(0)= g??(0)=0。 y+?(0)= h+?(0)= 0。 y??(1)= +?, 故 y在 x =177。 1處不可導(dǎo) . ? 綜上所述 , ?????????????????1 310 301 21 12xxxxxxy注① : 可見(jiàn) , 分段函數(shù)在 分段點(diǎn)處的分析性質(zhì)須 慎重對(duì)待 . 幾種情況都可能出現(xiàn) . (i) 不連續(xù) 。 (ii) 連續(xù)但不可導(dǎo) 。 (iii) 可導(dǎo) . ??????????????????1 1310 01 1 232xxxxxxxxy? ,lim)(00 xyxfx ??????.0l i m)()(l i ml i m0000?????????????????xxfxxyyxxx若 y = f(x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo) , 則有 由極限的運(yùn)算法則得 , 因此 , 若 y = f(x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo) , 則 y = f(x)在點(diǎn) x0處連續(xù) . 反之未必 . 3. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 ? ??????000s i n)( 1xxxxf xxxfxffxx ??? ?????????1s i nl i m)0()0(l i m)0(00,0)0()(l i m)(l i m 00 ??? ?? ?? fxfxf xx例如 : 函數(shù) 在點(diǎn) x = 0處連續(xù)但不可導(dǎo) . 事實(shí)上 , 但 不存在 . 注 ② : 存在僅在一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù) . 例如 ? ????為無(wú)理數(shù)當(dāng)為有理數(shù)當(dāng)xxxxh,0)(2而在 x = 0處 , 0 ? h(?x) h(0) ? (?x)2, 從而 ,)0()(0 xx hxh ??? ???由夾逼原理可得 .0)0()(l i m)0(0?? ?????? xhxhhx注 ③ : 存在處處連續(xù) , 但處處不可導(dǎo)的函數(shù) . 事實(shí)上 h(x)在其它點(diǎn)處不連續(xù) , 當(dāng)然不可導(dǎo) , 僅在 x = 0處可導(dǎo) . ? .)()()()()()()(2/xvxvxuxvxuxvxu ??????????.)()()(12/xuxuxu?????????1. 函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 (3) 特別地 , [cu(x)]?= cu?(x), (其中 c?R為常數(shù) ), 二 .函數(shù)的求導(dǎo)法則 (2) [u(x)v(x)]?= u?(x)v(x) + u(x)v?(x). (1) [u(x)?v(x)]?= u?(x)?v?(x). ? 例如 : 一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (tanx)? = sec2x, (cotx)? = ?csc2x, (secx)? = secxtanx, (cscx)? = ?cscxcotx. 2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 [定理 ] 設(shè)定義在區(qū)間 I上的嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù) 則其反函數(shù) y = f 1(x)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn) x處 ,)(1)()( 1yfxf???? .1ddddyxxy?即 x = f( y)在點(diǎn) y處可導(dǎo) , 且 f ?( y) ? 0, 可導(dǎo) , 且 ? )(s i n1)(ar c s i n???yx,11tan11s e c1)(tan1)(ar c tan222 xyyyx ????????例如 : ,11s i n1)(c os1)(ar c c os2xyyx????????ycos1?,112x??.11c ot11c s c1)(c ot1)c ot(ar c222 xyyyx ???????????? ),()( uufuy ?????? ?xyxyx ????? 0limdd設(shè) u =?(x)在點(diǎn) x處可導(dǎo) , y = f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn) u=?(x)處可導(dǎo) . 設(shè)自變量 x 的增量為 ?x時(shí) , u的增量為 ?u, y 對(duì)應(yīng)的增量為 ?y. )(l i m0ufuyu??????得 , 由 .0)(lim 0 ???? uu ?其中 .)()( uuuufy ???????? ?從而 ?????????