專升本高數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)(已修改)
2025-05-28 05:31 本頁面
【正文】 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 167。 . 導(dǎo)數(shù)與微分 我們再用極限來研究變量變化 的快慢程度，這即是微分學(xué)中 的重要概念 — 導(dǎo)數(shù) 。 的導(dǎo)數(shù)。在點則稱此極限值為函數(shù)極限存在，時，如果當(dāng)時，相應(yīng)的函數(shù)有增量處有增量在點當(dāng)自變量的某個鄰域內(nèi)有定義，在點設(shè)函數(shù)定義：00000)(0)()()(xxfyxyxxfxxfyxxxxxfy????????????1. 定義 (一 ) 導(dǎo)數(shù)的概念 xxfxxfxyxfxfyxxxx????????????????)()(limlim)()(0000000即或記作：等。，導(dǎo)數(shù)也可記作：00)(xxxxxfdxddxdy??如果函數(shù) f (x) 在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)存在，那么稱函數(shù) f (x) 在點 x0 處可導(dǎo)，反之，稱為不可導(dǎo)。 000)()(l i m)(0 xxxfxfxfxx ?????導(dǎo)數(shù)的一個等價定義：xyxfxfx ?????????? 000lim)()( 即記作：處的左導(dǎo)數(shù)。在點稱此極限值為函數(shù)存在，那么左極限如果的某個鄰域內(nèi)有定義，在點設(shè)函數(shù)000000)()()(limlim)(xxfyxxfxxfxyxxfyxx???????????????左、右導(dǎo)數(shù) xxfxxfxyxfxfxx ???????????? ??????)()(limlim)( , )(000000 即同理右導(dǎo)數(shù)為處是否可導(dǎo)。在點考慮函數(shù)例00,12s i n0,)(.12????????xxxxexfx。在，且點處的左、右導(dǎo)數(shù)均存在函數(shù)點處可導(dǎo)的充要條件是在定理：函數(shù))()()(0000xfxfxxxfy?? ????21lim0)0()(lim)0( 200????????? ??? xexfxff xxx解：2112s i nlim0 )0()(lim)0(00?????????? ??? xxxfxffxx2)0()0()0(,0 ??????? ?? fffx 點可導(dǎo)所以函數(shù)在2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 曲線的切線的斜率即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 000000( ) ( , )( ) ( )( ) l i m t a n ( )2xxy f x M x yf x f xfxxx??????? ? ? ??設(shè) 曲 線 的 方 程 為 ， 則 曲 線 在 點 處 切 線的 斜 率000 0 0( ) ( , )( ) ( )y f x M x yy y f x x x??? ? ?曲 線 在 點 處 的 切 線 方 程 為3. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 由導(dǎo)數(shù)定義可知： 可導(dǎo) ?連續(xù) 00,0s i n ??????? yxxxy 時，當(dāng)解：1s i nlims i nlim)0(00???????? ??? xxxxfxx1s i nlims i nlim)0(00?????? ??? xxxxfxx( ) 0 , 0f x x x??所 以 在 連 續(xù) 但 在 處 不 可 導(dǎo) 。處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。在討論函數(shù)例 0s i n)(.2 ?? xxxf2 03 . ( )sin 0()xe b xfxax xa b f x?????????，例 設(shè)，問 ， 為 何 值 時 ， 連 續(xù) 且 可 導(dǎo) ？( 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 ) 1 1f f f b b??? ? ? ? ? ? ?解 ： ， ，,s i nl i m)1(s i nl i m)0(00axaxxbaxfxx???????? ???( 0 ) ( 0 ) 2f f a????? ? ?，20( 1 )( 0 ) l im 2xxe b bfx?? ?? ? ?? ??(二 ) 曲線的切線方程及法線方程 0000 0 0( ) ( )( , )( ) ( )y f x f x xM x yy y f x x x??? ? ?設(shè) 曲 線 的 方 程 為 ， 若 在 處 可 導(dǎo) ，則 曲 線 在 點 處 的 切 線 方 程 為0 0 0000( ) 0 ( ) ( , )1()()f x y f x M x yy y x xfx? ??? ? ? ??若 ， 則 曲 線 在 點 處 的法 線 方 程 為(三 ) 求導(dǎo)公式 函數(shù)在任意點 x 處的導(dǎo)數(shù) xxfxxfxfx ????????)()(l i m)(0仍是 x 的函數(shù)，稱為 f (x)的導(dǎo)函數(shù)。 1. 基本導(dǎo)數(shù)表 10 ( )c x x?? ? ?????，( ) l n ( )x x x xa a a e e???? ，11( l og ) ( l n )l
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