【正文】 1. 函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 (3) 特別地 , [cu(x)]?= cu?(x), (其中 c?R為常數(shù) ), 二 .函數(shù)的求導(dǎo)法則 (2) [u(x)v(x)]?= u?(x)v(x) + u(x)v?(x). (1) [u(x)?v(x)]?= u?(x)?v?(x). ? 例如 : 一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (tanx)? = sec2x, (cotx)? = ?csc2x, (secx)? = secxtanx, (cscx)? = ?cscxcotx. 2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 [定理 ] 設(shè)定義在區(qū)間 I上的嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù) 則其反函數(shù) y = f 1(x)在對應(yīng)的點(diǎn) x處 ,)(1)()( 1yfxf???? .1ddddyxxy?即 x = f( y)在點(diǎn) y處可導(dǎo) , 且 f ?( y) ? 0, 可導(dǎo) , 且 ? )(s i n1)(ar c s i n???yx,11tan11s e c1)(tan1)(ar c tan222 xyyyx ????????例如 : ,11s i n1)(c os1)(ar c c os2xyyx????????ycos1?,112x??.11c ot11c s c1)(c ot1)c ot(ar c222 xyyyx ???????????? ),()( uufuy ?????? ?xyxyx ????? 0limdd設(shè) u =?(x)在點(diǎn) x處可導(dǎo) , y = f(u)在對應(yīng)的點(diǎn) u=?(x)處可導(dǎo) . 設(shè)自變量 x 的增量為 ?x時(shí) , u的增量為 ?u, y 對應(yīng)的增量為 ?y. )(l i m0ufuyu??????得 , 由 .0)(lim 0 ???? uu ?其中 .)()( uuuufy ???????? ?從而 ?????????????????????????? xuuxuufxx)(lim)(lim00?于是 3. 復(fù)合函數(shù) y = f(?(x))的求導(dǎo)法則 ).()( xuf ? ???? ? 定理 設(shè)函數(shù) u =?(x)在點(diǎn) x處可導(dǎo) , 函數(shù) y = f(u) 且 即 ),()(dd xufxy ? ??? .ddddddxuuyxy ??在對應(yīng)的點(diǎn) u =?(x)處可導(dǎo) , 則復(fù)合函數(shù) y = f(?(x))在點(diǎn) x處可導(dǎo) , 例如 : (1) .1)||(l n xx ??axxa ln1)||(l og ?? (a0, a ? 1), ? （ 2） y=sinlnx,求 y’. （ 3） y=arctanex,求 y’. （ 5） y=ax,求 y’. （ 6） y=xμ,求 y’. 4. 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 三 . 高階導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的物理意義復(fù)習(xí)與問題的提出 設(shè) 質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過時(shí)間 t的運(yùn)動路程為 s=f(t). 函數(shù) s=f(t)在點(diǎn) t0的導(dǎo)數(shù) f‘(t0), 表示質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t0的 (瞬時(shí) )速度。 y+?(0)= h+?(0)= 0。 ② 當(dāng) x?(?1, 0)時(shí) , y = g(x), 故 y?= g?(x)= 2x。 而函數(shù) s=f(t)在點(diǎn) t的導(dǎo)數(shù) f‘(t), 表示質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻 t的 (瞬時(shí) )速度 v(t)。(x)與之對應(yīng) , 于是得到一個 定義在 I上的函數(shù) , 稱之為函數(shù) y = f(x)在 I上 的 導(dǎo)函數(shù) , 簡稱為 導(dǎo)數(shù) . 記為 xfdd .ddxy或 ? 2. 幾何意義與物理意義 （ 1）幾何意義 若函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo) , 則曲線 y = f(x) 在點(diǎn) (x0, f(x0)) 處有不垂直于 x軸的切線 , 且 f39。 反射光線的方向取決于入射點(diǎn)和該點(diǎn)處 的切線 . 從橢圓的一個焦點(diǎn) 發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射 后必經(jīng)過另一個焦點(diǎn) . 167。(x0)表示該切線的斜率 , ? 于是曲線 y = f(x)在該點(diǎn)處的切線方程為 y ? f(x0) = f39。 對于速度函數(shù) v=v(t)在點(diǎn) t的導(dǎo)數(shù) v‘(t), 表示質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻 t的 (瞬時(shí) ) 加速度 a(t)。 ③ 當(dāng) x?(0, 1)時(shí) , y = h(x), 故 y?= h?(x)= 3x2。 y??(1)= +?, 故 y在 x =177。 而函數(shù) s=f(t)在點(diǎn) t的導(dǎo)數(shù) f‘(t), 表示質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻 t的 (瞬時(shí) )速度 v(t)。(sa ?這種導(dǎo)數(shù)是什么 ?這是下面要學(xué)的二階導(dǎo)數(shù) . 2. 定義 (1) 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 I上可導(dǎo) , 若導(dǎo)函數(shù) f ?(x)在點(diǎn) x?I處可導(dǎo) , 則稱 f(x)在 x處 二階可導(dǎo) , 記為 f ?(x), ,dd 22xy.)()(lim)(0 xxfxxfxfx ???????????.d )(d 22xxf或 即 并稱 [f ?(x)]?為 f(x)在 x處的 二階導(dǎo)數(shù) , ? (2) 如果 f ?(x)在區(qū)間 I上處處可導(dǎo) , 則稱 f(x)在 I上 二階可導(dǎo) , 稱 f ?(x) (x?I )為 f(x)在區(qū)間 I上的 二階導(dǎo)函數(shù) . 簡稱為 f(x)的 二階導(dǎo)數(shù) . (3) 一般地 , 若 f(x)的 n?1階導(dǎo)函數(shù) f (n?1)(x)在點(diǎn) x?I處可導(dǎo) , 則稱 f(x)在點(diǎn) x?I處 n階可導(dǎo) . f(x)的 n階導(dǎo)數(shù) . 記為 ),()( xf n .d)(dnnxxf或 ,ddnnxyf (n?1)(x)在點(diǎn) x?I處的導(dǎo)數(shù) [f (n?1)(x)]?稱為 ? (4) 若 f(x)在區(qū)間 I上處處 n階可導(dǎo) , 則稱 f(x)在 I上 n階可導(dǎo) , 稱 f (n)(x) (x?I)為 f(x) 在 I上的 n階導(dǎo)函數(shù) . 則稱 f(x)在 I上 無窮階可導(dǎo) , .)( nICf ?若 ?n?N+, ,)( nICf ?簡稱為 f(x)的 n階導(dǎo)數(shù) . (5) 若 f (n)(x)在 I上連續(xù) , 則稱 f(x)在 I上 n階連續(xù) 可導(dǎo) , 記為 .?? ICf記為 3. 例子 例 1 求下列初等函數(shù)的 n階導(dǎo)數(shù) : ? (1) xey ?,一般地 xay ?. (2) xy si n?。 （ 3） 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 例 1 exy+y2=cosx, 求 y?. 解 : 等式兩邊對 x求導(dǎo)得 : exy(xy)? 即 exy(y+xy?)+2yy? = ?sinx, 整理得 (xexy+2y)y? = ?(yexy+sinx). 于是 .2s i nyxexyeyxyxy?????+2yy? = ?sinx, ? 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 ：在 方程 F(x, y)=0兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)，使用四則求導(dǎo)法則與復(fù)合求導(dǎo)法則，遇到 y時(shí)先 對 y求導(dǎo)并乘以 y’。 PN = f ?(x0)dx = dy ? ).0(dd)d( 2 ??? vvvuuvvu二 . 微分法則 1. 四則運(yùn)算 d(u177。 (2)最小的極小值不一定是最小值 ?！?xxx lnlim0 ?????? ?? xxxlnlim0101lim ??? ??? ?? xxx ??xx???? 0lim設(shè) ? 0, 則 = 0. (2) ∞ ?∞ = +∞ . ????????????? 1limxexe xxx )1(l i m????? xxe xx 12lim ????? xe xx2limxxe????? 210s i nl i m xx xx??????????????? xxxxes i nln102l i m??????? xxxxs i nln1lim20 xxxx 21c o tlim0??? xxxxxx s i n2s i nc oslim20???30 2s i nc oslimxxxxx??? 20 6s i nl i mxxxx???.61??210s i nl i m xx xx???????.16 e?(3) 1∞ 因此 ,s i nln1lim20 ???????? xxxxe? ? ? xxx s i n0c otl i m ??,c o tlns i nlim 0 xxxe ???xxx c o tlns inlim 0 ?? x xx c s cc otlnl i m0 ??? xxxxx c otc s ctanc s clim 20 ?????xxx 20 c oss i nlim??? ? ? .1c o tlim s i n0???xxx(4) ∞0 = 0. 因此 xx xs in0lim ??,lns i nlim 0 xxxe ???xxx lns inlim0 ??xxx c s clnlim0 ??? xxxx c otc s c1lim0 ????xxxx c o ss i nl i m 20 ???? .1lims i n0 ???xx x(5) 00 = 0. 因此 ? 21lim1 ??? xxxxxxxs i nlim ???xxxxx eeee????? ??lim,21li m1 ??? xxx,32?,s i nlim x xxx???)s i n1(l i m x xx????.l i m xxxxx eeee????? ??xxx ee2211l i m????? ???四 . 不可用洛必達(dá)法則的情形 . (1) (2) (3) 事實(shí)上 , =1, =1. ? .)]1l n (1[)(lim 30 xxxxfx????30)]1l n (1[)(limxxxxfx????3223320)](o211[)](o[l i mxxxxxxxxxx??????????.23)(o23l i m 3330?????? xxxx例 設(shè)函數(shù) f(x)四階可導(dǎo) , 且 f(0) = 0, f ?(0) = –1, f ??(0) = 2, f ???(0) = –6, 求 解 : ? ,)( )( ] ,[ n baCxf ? ,)( )1( ) ,( ?? n baCxfknkkxxk xf )(! )( 000)(???七、 帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式 設(shè)函數(shù) 且 x, x0?[a, b], 則 f(x)= 記 g(x)=(x?x0)n+1, 則 10 )()(?? nnxxxr g(x0)=g?(x0)=… =g(n)(x0)=0, g(n+1)(x)= (n+1)!, r(x0)=r?(x0)=… =r(n)(x0)=0, r(n+1)(x0)= f (n+1)(x). + rn(x). )()()()(0100xgxxxrxrnnn