【正文】 處的一階偏導數(shù)存在，這是因為：如果在（ ）中令 以特殊方式趨于 0時，可知 0??z 0,0 ???? yx? ? ? ? ? ?yxivyxuzf , ??? ?yxu , ? ?yxv ,? ?039。0039。039。 , yxvyxu yx ? ? ? ? ?0039。? ? ? ?zozif ?????? ?? ? ?0??z? ?? ? ? ?zoyixiviu ?????????? ??? ?zoyxu ??????? ??? ?zoyxv ??????? ??vu, ? ?00 , yx dydxdvdydxdu ???? ???? ,?? ? ? ? ?0039。 , yxuyxv yx ?? 充分性 設 在 處可微，且（ ）成立 .這時，可寫 ， . 于是由（ ）知， . 因而 ， 亦即 存在 .證畢 . 02 vu, ? ?00 , yx? ? ? ? ? ?zoyyxuxyxuu yx ??????? 0039。 ,viuf ?????? ? ? ?? ?? ? ? ?zoyixyxivyxu xx ??????? 0039。 oyxivyxu xx ??? ?039。 zfz ??? ? z? z 0z? ?039。 zf ? ?zf?? 0z? ?039。arg zf 例如從 出發(fā)的一條曲線 L如經(jīng)映射成為 平面上從 出發(fā)的一條曲線 C，則 L在 處的切線方向經(jīng)旋轉(zhuǎn) 后就是 C在 處的切線方向 .由此還可推知，從 處出發(fā) 的兩條曲線 經(jīng)映射成 平面上從 出發(fā)的兩條 曲線 時，它們之間的夾角不變 .此性質(zhì)稱為映射 在 處的保角性 . 0z? 0?0z ? ?039。 zf? ?zf 0z? ? 0039。 ?f 22 yxxu ??22 yxyv ?? ? ?0,0f 0z? ?zf D D? ?zf D ? ?zfD ? ?zf 我們指出一種方便的記號 .一個復函數(shù) （不一定要求其解析）實際上也可看成兩實變元 的復值函數(shù) .因為 ， ， （ ） 所以 又可看作 的復值函數(shù)，因此我們可作形式的運算定義如下： ， （ ） ? ? ? ?iyxfzf ????yx,? ? ??yxf ,:? ?zzx ?? 21 ? ?zziy ?? 21f zz,??????????????????????????yfixfzyyfzxxfzf21..??????????????????????????yfixfzyyfzxxfzf21.. 由于 ，故有 . 因此， ， （ ） . 由此可見，如果 （在某區(qū)域內(nèi)）解析，由 件（ ），可得 . ivuf ??xvixuxf???????? yviyuyf ??????????????????????????????????????yuxviyvxuzf221??????????????????????????????yuxviyvxuzf221? ?zf0???zf 反之，如果 ，則 .這樣，函數(shù) 解析的充要條件為 可微且 .另一方面，如果 解析，由 .可見， 如果 解析，則 . 以上這種形式運算對檢驗函數(shù)的解析性和求導非常方便 . 例如，設 ，則由于表達式中不出現(xiàn) ， 故 ， .因此得知 在全平面解析， 且 ，這我們早知道 . 0???zf ? ?zfvu, 0???zf? ?zf ? ?zfxvixuzf 39。z ? ???? s inc o s iz ???? iez ? ?? ,0?z ? ? z 特別值得注意， 且 當且僅當 此外，如果 ，則有 . （ ） 因此，如令 ，則有 （ ） 由（ ）立即可以檢查：對 來說， 處處成立 .因此， 是全平面 C中的解析函數(shù) .由于它不 是多項式，我們說它是 超越整函數(shù) . ,1,1 22 ????? ?? iii eiee ???1?ze .,2 Jninz ?? ?iyxz ??)s i n( c o s yiyeeeee xiyxiyxz ????? ?ivue z ??.s i nIm,c o sRe yeevyeeu xzxz ????zeze 復指數(shù)函數(shù)有些性質(zhì)和實指數(shù)函數(shù)相似，例如，對任何 ， 但也有些性質(zhì)與實指數(shù)函數(shù)不同，例如，由（ ）或直接驗證可知， 是周期函數(shù)，以 為周期： . （ ） 從（ ）形式地逐項求導，可得 . （ ） 這的確是對的，因若 ，則有 ， 這從（ ）立即可得 .用復合函數(shù)求導規(guī)則，還 有 ,其中 為任何常數(shù) . Cz? .0?zezei?2ziz ee ?? ?2? ? zz ee ???? ie x ??? ? xixe z ??????? ??azaz aee ??)( a ? 既然指數(shù)函數(shù)可以推廣到復指數(shù)情形，自然想到三角函數(shù)也可以推廣到復變元情形 .事實上，利用 的泰勒展式，我們定義 （ ） 易證這兩個級數(shù)對任何 是絕對收斂的，所以確有意義 .由此還可把歐拉公式 推廣為 ， .（ ） 由此出發(fā)，也可定義 等等 xx sin,co sCzzzzzzzzz??????????????????!5!3s i n!4!1c o s5342z? ?39。39。 ikzikziz eez ?????? ??? ??12l og2l og 1 ??? ????? ??????? ??? zezzeikzikz?z D?z ? ?z D? ?z Dn z D n? ? n kzinkn ezz ?2a r g ?? ? ?,1,1,0,2a r g0 ?? nkz ??? ?n zz 由 的解析分枝的表達式可知，當 時，對 于 的任一可單值分枝區(qū)域 ， 在 取定初值 為 的單值分枝表達式為