【文章內(nèi)容簡介】 ?nzzznzzez ze z 還可注意，當(dāng) 為實數(shù)時，指數(shù)定律 成立；而當(dāng) 為復(fù)數(shù)時，也有指數(shù)定律 （ ） 這可將 按（ ）展式，再用級數(shù)乘法證得（因 為它們都絕對收斂） .從而也有 ， . （ ） 總之，指數(shù)三定律對復(fù)指數(shù)情況也成立 . 21,xx2121 xxxx eee ???21, zz2121 zzzz eee ???21 , zz ee2121 zzzz eee ?? ? ? nznz ee ? 有了（ ），立即可以證明著名的歐拉（ Euler）公式（ 為實數(shù)）： （ ） 或即 ， 這樣一來， 的三角表示式 可寫 成指數(shù)形式： （ 為實數(shù)） . （ ） 這種用 的模 和輻角 表示 的方式稱為指數(shù)表示式 . 這種表示法非常有用、方便 . ????? ?? s i nc o s,s i nc o s ieie ii ???? ?2c os???ii ee ??? ieeii2s in?????? ? ?39。z ? ???? s inc o s iz ???? iez ? ?? ,0?z ? ? z 特別值得注意， 且 當(dāng)且僅當(dāng) 此外，如果 ，則有 . （ ） 因此，如令 ，則有 （ ） 由（ ）立即可以檢查：對 來說， 處處成立 .因此， 是全平面 C中的解析函數(shù) .由于它不 是多項式，我們說它是 超越整函數(shù) . ,1,1 22 ????? ?? iii eiee ???1?ze .,2 Jninz ?? ?iyxz ??)s i n( c o s yiyeeeee xiyxiyxz ????? ?ivue z ??.s i nIm,c o sRe yeevyeeu xzxz ????zeze 復(fù)指數(shù)函數(shù)有些性質(zhì)和實指數(shù)函數(shù)相似，例如，對任何 ， 但也有些性質(zhì)與實指數(shù)函數(shù)不同，例如，由（ ）或直接驗證可知， 是周期函數(shù)，以 為周期： . （ ） 從（ ）形式地逐項求導(dǎo)，可得 . （ ） 這的確是對的，因若 ，則有 ， 這從（ ）立即可得 .用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，還 有 ,其中 為任何常數(shù) . Cz? .0?zezei?2ziz ee ?? ?2? ? zz ee ???? ie x ??? ? xixe z ??????? ??azaz aee ??)( a ? 既然指數(shù)函數(shù)可以推廣到復(fù)指數(shù)情形，自然想到三角函數(shù)也可以推廣到復(fù)變元情形 .事實上，利用 的泰勒展式，我們定義 （ ） 易證這兩個級數(shù)對任何 是絕對收斂的，所以確有意義 .由此還可把歐拉公式 推廣為 ， .（ ） 由此出發(fā)，也可定義 等等 xx sin,co sCzzzzzzzzz??????????????????!5!3s i n!4!1c o s5342z? ?39。2c osiziz eez???ieez iziz2s in???zzzzzzs i nc osc ot,c oss i ntan ?? 由（ ）可以看出， 和 仍是以 為周 期的周期函數(shù)，且 為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)，它們的 零點(diǎn)也與相應(yīng)實函數(shù)相同 .許多有關(guān)實變元的三角函數(shù) 公式對復(fù)三角函數(shù)也成立 ..例如和、差、倍、半公式、 誘導(dǎo)公式及恒等式 等等，這些都不難由歐拉公式（ ）證明 .但要特別注 意，有些式子，特別是一些不等式現(xiàn)在不再成立 .例 如， 和 就不成立（讀者不妨試令 來觀察） . zcos zsin ?2zcos zsin1c o ss i n 22 ?? zz1cos ?z 1sin ?z, Rxixz ?? 由（ ）還可知， ， 都是全平面 C中的解析函數(shù)（也是超越整函數(shù)），而且 . （ ） 由此也得知，其他基本三角函數(shù)的熟知的求導(dǎo)公式現(xiàn)在仍成立 . 在實分析中還有應(yīng)用中常見的雙曲函數(shù)： 它們可以推廣到復(fù)變元 （ ） zcos zsin? ? ? ? zzzz c o ss i n,s i nc o s 39。39。 ???.2,2xxxx ees hxeec hx?? ????Cz?.2,2zzzz ees hzeec hz?? ???? 它們當(dāng)然也可用 的泰勒展式來推廣定義 .由此還 可以定義 等 . 以 為周期，它們也是超越整函數(shù)，且 （ ） 還有許多有關(guān)實變元雙曲函數(shù)的恒等式可推廣到復(fù)變元情況，不一一例舉 . 此外，三角函數(shù)與雙曲函數(shù)之間有密切關(guān)系 .例如，易證 （ ） 利用（ ），可以把有關(guān)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的公式互相轉(zhuǎn)化 . shxchx,s hzc hzc t hzc hzs hzt hz ?? ,shxchx, i?2? ? ? ? ., 39。39。 c h zs h zs h zc h z ??.s i n,c o s is h zizc h ziz ?? ? 在實分析中，對數(shù)函數(shù)是作為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)而定義的 .我們可用類似的方法定義復(fù)變元的對數(shù)函數(shù) . ? 由于指數(shù)函數(shù) 以 為周期，其反函數(shù)，即復(fù)變元的對數(shù)函數(shù)，記為 是個多值函數(shù)：如果 是 的一個值，即 ，則顯然 都是 的值 .由此可以看到， 的多值性與 的多值性極為相象，它們之間似有密切關(guān)系 .事實正是如此 .我們只要把 的實部和虛部分開，便能一目了然 . ? 設(shè) 因此 .當(dāng)然要設(shè) ，因這時 無解 .將 以指數(shù)形式寫出： （ 任意取定一值），并記 .于是 ?ez ? i?2,Logz?? 0?0Logz 00 ?ez ? ? ??,2,1,020 ???? kik ??0Logz Logz ArgzLogz,L o g z?? ?ez ? 0?z 0??ez ?? iez ? zz a r g, ?? ??ivu ??? 此式左、右兩端是同一復(fù)數(shù)，它們的模應(yīng)相等： 或即 ；它們的輻角可相差 的一整數(shù)倍： 亦即 這樣，我們有重要的公式： （ ） 此式很清楚的表明 的多值性是由 的多值性而來 . （ ）本身也看作 的定義 . 由于