【正文】 后它為實軸的傾角 要近似地旋轉(zhuǎn)一角 而成為 ，而這個旋轉(zhuǎn)角度當(dāng) 時精確的 為 . 0??z 0z0?? ?039。 zf ? ?zf?? 0z? ?039。a rga rga rga rg zfzz ??????? ??????? 2a r g0,2a r g0 ?? ?????? z? ?039。arg zf ?? ? z??? ? ? ?039。arg zf? 0??z? ?039。arg zf 例如從 出發(fā)的一條曲線 L如經(jīng)映射成為 平面上從 出發(fā)的一條曲線 C，則 L在 處的切線方向經(jīng)旋轉(zhuǎn) 后就是 C在 處的切線方向 .由此還可推知，從 處出發(fā) 的兩條曲線 經(jīng)映射成 平面上從 出發(fā)的兩條 曲線 時，它們之間的夾角不變 .此性質(zhì)稱為映射 在 處的保角性 . 0z? 0?0z ? ?039。arg zf0? 0z21,LL?0?21,CC? ?zf??0z 綜合起來可見：以 為中心的無窮小圓經(jīng)映射后成為 以 為中心、半徑延伸了 倍、且旋轉(zhuǎn)了 角的無窮小圓 .這樣， 的幾何意義就很清楚了 .這常 常稱為 在 處的共形性（或稱為保形性） . 的情況比較復(fù)雜，以后再討論 . 我們同樣可定義高階導(dǎo)數(shù)，并有類似的計算法則，例如，關(guān)于函數(shù)乘積的高階倒數(shù)的萊布尼茲（ Leibniz）公式 . 0z0?? ?039。 zf ? ?039。arg zf? ?039。 zf? ?zf 0z? ? 0039。 ?zf2. 解析函數(shù)概念 在復(fù)分析中，我們更感興趣的是一個區(qū)域中處處可導(dǎo)的函數(shù) . 定義 在復(fù)平面 C中一個（開）區(qū)域 D內(nèi)處處可導(dǎo)的函數(shù) ，稱為 D中的 解析函數(shù) . 于是，由定理 ，相應(yīng)的又有： 定理 復(fù)函數(shù) 在域 D中解析的必要充 分條件是 在 D內(nèi)可微，且處處滿足 ： ， .（ ） fivuf ??vu,yvxu?????xvyu?????? 以后我們還常?？紤]在復(fù)平面 C中某點 的一領(lǐng)域 （包括 在內(nèi)）中的解析函數(shù) .為簡便起見，稱這種函 數(shù) 在 處解析。千萬不要和 在 處可導(dǎo)混淆。例如，設(shè) ，易證 ，但因這時 ， 它們在點 的領(lǐng)域內(nèi)不滿足 ，所以 在 處不解析 . 我們也說 在一閉區(qū)域 解析，如果它在 的每一點都解析 .換句話說， 在 上解析實際上表示 在包含 于其內(nèi)部的某個區(qū)域上解析 .同樣，說 在某個線段或弧段上解析，是指它在包含這個線段或弧段于其內(nèi)部的某區(qū)域上解析 . 0z0z ff 0zf0z? ? zzzf ? ? ? 0039。 ?f 22 yxxu ??22 yxyv ?? ? ?0,0f 0z? ?zf D D? ?zf D ? ?zfD ? ?zf 我們指出一種方便的記號 .一個復(fù)函數(shù) （不一定要求其解析）實際上也可看成兩實變元 的復(fù)值函數(shù) .因為 ， ， （ ） 所以 又可看作 的復(fù)值函數(shù)，因此我們可作形式的運(yùn)算定義如下： ， （ ） ? ? ? ?iyxfzf ????yx,? ? ??yxf ,:? ?zzx ?? 21 ? ?zziy ?? 21f zz,??????????????????????????yfixfzyyfzxxfzf21..??????????????????????????yfixfzyyfzxxfzf21.. 由于 ，故有 . 因此， ， （ ） . 由此可見，如果 （在某區(qū)域內(nèi)）解析，由 件（ ），可得 . ivuf ??xvixuxf???????? yviyuyf ??????????????????????????????????????yuxviyvxuzf221??????????????????????????????yuxviyvxuzf221? ?zf0???zf 反之，如果 ，則 .這樣，函數(shù) 解析的充要條件為 可微且 .另一方面，如果 解析，由 .可見， 如果 解析，則 . 以上這種形式運(yùn)算對檢驗函數(shù)的解析性和求導(dǎo)非常方便 . 例如，設(shè) ，則由于表達(dá)式中不出現(xiàn) ， 故 ， .因此得知 在全平面解析， 且 ，這我們早知道 . 0???zf ? ?zfvu, 0???zf? ?zf ? ?zfxvixuzf 39。?????????? ?zf ? ?zfzf 39。???? ? 2zzf ? z0???zf zzf 2??? 2z? ? zz 239。2 ? 確切說來，應(yīng)寫 再以（ ）代入右端，又 得到 而不含 ，所以 ， .如 就不能 說“不含 ，所以 ”，實際上可如上算出 ， 故 ，所以 不是解析函數(shù)，也不能說它的導(dǎo) 數(shù)是 . 由于歷史原因，解析函數(shù)也稱為 全純函數(shù) 或 正則函數(shù) .這些是因為最初研究者出發(fā)點不同而引起的各種名稱，它們實際上是等價的 .因此，我們以后將不加以區(qū)別的使用這些名稱 . ? ?22 iyxz ??2z z 0???zf zzf 2??? ? ? 2zzf ?z 0???zf ? ? zzzf ?0???? zzf 2zz 一些初等解析函數(shù) 和實分析一樣，也有復(fù)的初等（解析）函數(shù)，它們也由一些最基本的初等函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算和復(fù)合而成，但復(fù)的初等函數(shù)中，既有單值的，也有多值的 .對于多值的，運(yùn)算時要特別小心 . 首先，多項式 （ ） 顯然是全平面 C中的解析函數(shù)（其中 為 常數(shù)） .在全面 C中解析函數(shù)稱為 整函數(shù) ，多項式 是最簡單的整函數(shù) . ? ? nn zazaazP ???? ?10naaa , 10 ? 有理數(shù) （其中 都是多項式）在除去 的點以外處處解析，這是一種最簡單的 亞純函數(shù) ，意即比“全純”稍次之意 .亞純的一般定義見后 . 多項式和有理函數(shù)我們早已很熟悉，包括其求導(dǎo)方法等 .這些就不多說了 . 在實分析中我們已熟悉指數(shù)函數(shù) .現(xiàn)在我們要把它推廣成復(fù)變 的指數(shù)函數(shù) . 回想泰勒（ Taylor）展式： ? ? ? ?zQzP ? ? ? ?zQzP ,? ? 0?zQzez ze? （ ） ? 它對任何實數(shù) 成立 .現(xiàn)在就把 改為 作為 的定 ? 義： ? （ ） ? 由于 ? ? 對任何 收斂（于 ），可見（ ）中的級數(shù)對任何 絕對收斂 .因此 對任何 是有意義的 . ,!!212?? ????? nxxxenxx x z ze,!!212?? ????? nzzzenz,!!212?? ???