第2章導數(shù)與微分-wenkub
2022-10-24 00:39:47 本頁面
【正文】 式等價： .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ?????若 y =f (x)在 x= x0 的導數(shù)存在，則稱 y=f(x)在點 x0 處可導，反之稱 y = f (x)在 x = x0 不可導，此時意味著不存在 .函數(shù)的可導性與函數(shù)的連續(xù)性的概念都是描述函數(shù)在一點處的性態(tài)，導數(shù)的大小反映了函數(shù)在一點處變化 (增大或減小 )的快慢 . 前頁 結束 后頁 左導數(shù) : .)()(lim)( 0000 xxfxxfxfx ?????????? 右導數(shù) : .)()(lim)( 0000 xxfxxfxfx ??????????顯然可以用下面的形式來定義左、右導數(shù) ,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ??????? .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ???????定理 y = f (x)在 x =x0可導的充分必要條件是 y = f (x)在 x=x0 的左、右導數(shù)存在且相等 . 前頁 結束 后頁 當自變量 從變化到 時，曲線 y=f(x)上的點由 變到 )).(,( 00 xxfxxM ????此時 為割線兩端點 M0， M的橫坐標之差，而 則為 M0， M 的縱坐標之差，所以 即為過 M0， M兩點的割線的斜率 . 0x) ) .(,( 000 xfxMx?y?xy??xx ??0M0 M 0x xx ??0前頁 結束 后頁 曲線 y = f (x)在點 M0處的切線即為割線 M0M當 M沿曲 線 y=f(x)無限接近 時的極限位置 M0P， 因而當 時，割線斜率的極限值就是切線的斜率 .即： 0xD ?0 0( ) lim lim t a n t a nxyf x kx ?? ??? ? ??? ? ? ? ??所以，導數(shù) 的幾何意義是曲線 y = f (x) 在點 M0(x0,f(x0))處的切線斜率 . )( 0xf ?M0 M 0x xx ??0P0M? ?前頁 結束 后頁 設函數(shù) y=f(x)在點處可導，則曲線 y=f(x)在點處的切線方程為： 而當 時 ,曲線 在 的切線方程為 0001( ) ( ) .()y f x x xfx? ? ? ??0xx?(即法線平行 y軸 ). 0xx?0 0 0( ) ( ) ( ) .y f x f x x x?? ? ?當 時 ,曲線 在 的法線方程為 0( ) 0fx? ? ()fx 0M而當 時 ,曲線 在 的法線方程為 0( ) 0fx? ? ()fx 0M0()fx? ?? ()fx 0M前頁 結束 后頁 例 3 求函數(shù) 的導數(shù) 解 : (1)求增量 : (2)算比值 : (3)取極限 : 同理可得 : 特別地 , . 2xy ?( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ?2 2 2( ) 2 ( )x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?xxxy ????? 2xxxxyyxx2)2(limlim00????????????為正整數(shù)）nnxx nn ()( 1???11( ) ( )xn? ??前頁 結束 后頁 例 4 求曲線 在點 處的切線與法線方程 . 解 :因為 ,由導數(shù)幾何意義 ,曲線 在點 的切線與法線的斜率分別為 : 于是所求的切線方程為 : 即 法線方程為 : 3xy ? )8,2(23 3)( xx ??3xy ?)8,2(1211,12)3(122221 ???????? ?? kkxyk xx)2(128 ??? xy01612 ??? yx)2(1218 ???? xy即 09812 ??? yx前頁 結束 后頁 可導性與連續(xù)性的關系 定理 2 若函數(shù) y = f (x)在點 x0處可導， 則 f(x)在點 x0 處連續(xù) . 證 因為 f (x)在點 x0處可導，故有 0 0( ) lim .xyfxx???? ??根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關系 ,可得 : 0 0( ) l i m 0 .xy fxx ?? ??? ?? ? ?? ， 其 中兩端乘以 得 : 0()y f x x x??? ? ? ? ? ? ?x?由此可見 : 000li m li m ( ( ) ) 0 .xx y f x x x?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?即函數(shù) y = f (x)在點 x0 處連續(xù) .證畢 . 前頁 結束 后頁 例 5 證明函數(shù) 在 x=0處連續(xù)但不可導 . ||yx?證 因為 0li m | | 0x x? ?所以 在 x =0連續(xù) ||yx?00( 0) l i m l i m 1xxyxfxx??? ? ? ? ???? ???1limlim)0(00?????????? ??????? xxxyfxx而 即函數(shù) 在 x=0處左右導數(shù)不相等 ,從而在 ||yx? x=0不可導 . 由此可見，函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可 導的必要條件，但不是充分條件 即可導定連續(xù) ,連續(xù)不一定可導 . 前頁
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