全微分、方向?qū)?shù)、梯度-wenkub
2022-09-13 01:37:19 本頁面
【正文】 義 O xyx?xdx xx ??)( xfy ?? ddtan xy?? 一元 : 用切線上的增量近似曲線上的增量 . 多元 : 用切平面上的增量近似曲面上的增量 . T應(yīng)用 的某一個 線性函數(shù)表示二元函數(shù)的全增量 yx ?? ,:z??????????????ybxayxfyyxxfz ),() ,(, , 無關(guān)的常數(shù)和是與 yxba ??. 應(yīng)該是一個無窮小量?二元函數(shù)全微分的定義 )U( 00 XXX ??? 時 , 若函數(shù)在點(diǎn) X0 處的全增量可 則稱函數(shù)在點(diǎn) X0 處可微 , ???? xaz ??yb )o( 22 yx ???zd ybxa ?????設(shè)函數(shù) )( Xfz ? 在點(diǎn) ),( 000 yxX ? 的某一鄰域 稱為函數(shù)在點(diǎn) X0 處的全微分 , 其中 , a , b 是與 ?X )U( 0X 內(nèi)有定義 , 當(dāng) 0X 獲得增量 ,),( yxX ???? 且 表示為 0 有關(guān)的常數(shù) . 無關(guān) ,僅與 X 全微分概念的極限形式 0)(lim 2200????????????? yxybxazyx0|||| |)(|lim 00?? ????????? Xybxazyx或22 yx ?????|||| X?其中 如果函數(shù) )(Xf 在區(qū)域 ? 中的 每一點(diǎn)均可微 , 則稱函數(shù)在區(qū)域 ? 上可微 . 函數(shù)在區(qū)域上的可微性 可微 連續(xù) 可導(dǎo) ? ? ? 在多元函數(shù)中 , 三者的關(guān)系如何？ 連續(xù)： 0lim00??????zyx可微與連續(xù)的關(guān)系 (可微的必要條件 ) 可微： ???? xaz ??yb )o( 22 yx ???函數(shù) )( Xf 在點(diǎn) X0 處可微 , 則必在點(diǎn) X0 處連續(xù) . 可微與連續(xù)的關(guān)系 (可微的必要條件 ) 可微 連續(xù) 可導(dǎo) ? 在多元函數(shù)中 , 可微 連續(xù) 可微與可導(dǎo)的關(guān)系 (可微的必要條件 ) 可微： ???? xaz ??yb )o(22 yx ???定理 則其兩個處可微在點(diǎn)若 , ),( ),( yxPyxfz ? , , 且均存在偏導(dǎo)數(shù) yzxz ???? . d d d yyzxxzz ??????若函數(shù)可微 , 則 )o( 22 yxybxaz ????????? ,0 , , 則取的任意性由 ???? yyx) || o( xxazz x ???????ax xxax zyxxyx?? ??????????????|)o ( |limlim0000即 , axz ??? 同理 , 取 , ,0 byzx ????? 得證 . )d ,d( , d d d yyxxyyzxxzz ??????????故可微 連續(xù) 可導(dǎo) 在多元函數(shù)中 , 可微 可偏導(dǎo) 可微 連續(xù) 可導(dǎo) 在多元函數(shù)中 , 可微 可偏導(dǎo) 在多元函數(shù)中 ,可偏導(dǎo) 可微 ? 函數(shù) ?),( yxf易知 ,0)0,0()0,0( ?? yx ff 但 ])0,0()0,0([ yfxfz yx ?????因此 ,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 . )(?o?注意 : 22 )()( yxyx??????22 )()( yxyx??????0偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 ! 0, 2222 ??? yxyx yx0,0 22 ?? yx 例 1 ?),( yxf函數(shù)0 2222 ??? yxyx xy0 0 22 ?? yx 例 1 在點(diǎn) (0, 0) 處連續(xù) , 且有有界的偏導(dǎo)數(shù) , 但不可微 . 該例留給學(xué)生課后研討 參考書： 《 高等數(shù)學(xué)中的反例 》 朱 勇等編 華中工學(xué)院出版社 1986年 p 120~130 逆命題 ? 可 微 連續(xù) 可導(dǎo) 連 續(xù) 可 導(dǎo) 連續(xù)可導(dǎo) Ok
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