倒數(shù)和微分導數(shù)的概念-wenkub
2022-09-01 19:14:08 本頁面
【正文】 0Δ ΔΔxu x x v x x u x v xfxx?? ? ?? ?0 0 0 0Δ 0( Δ )( Δ ) ( ) ( Δ )limΔxu x x v x x u x v x xx?? ? ? ? ???? 證 (2) 按定義可得 返回 后頁 前頁 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x v x x u x v xxDD??????0000( ) ( )l i m ( )xu x x u x v x xxDD DD?????注意 : ,千萬不要把導數(shù)乘積公式 (2) ()u v u v? ? ??? 記錯了 . 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .u x v x u x v x????0000( ) ( )li m ( )xv x x v xuxxDDD????返回 后頁 前頁 例 1 10 1 1( ) .nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?求 的導數(shù)10 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?nn nnf x a x a x a x a解 因此 , 對于多項式 f 而言 , 總是比 f 低一個冪次 . f?例 2 s in ln .y x x x??求 在 處 的 導 數(shù)π解 由公式 (2)，得 120 1 1( 1 ) .?? ?? ? ? ? ?nn nn a x n a x al n .xy ? ??? ??1( sin ) ln sin ( ln ) c o s ln sin ,y x x x x x x xx? ? ?? ? ? ?返回 后頁 前頁 00 0 0 020( ) ( ) ( ) ( )(). ( 4 )() ()xxu x v x u x v xuxvx vx?? ???? ?????? 在點 x0 也可導 ， 且 ()() ()uxfx vx?則定理 若函數(shù) 在點 x0 可導 , ( ), ( )u x v x 0( ) 0 ,vx ?返回 后頁 前頁 證 1( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ,()g x f x u x g x g xvx??設 ，則 對 有0 00011( Δ) ()( Δ ) ( )ΔΔv x x vxg x x g xxx?????0000( Δ ) ( ) 1 .Δ ( Δ ) ( )v x x v xx v x x v x??? ? ???由于 在點 x0 可導 , 因此 0( ) 0 ,vx ?()vx返回 后頁 前頁 對 應用公式 (2) 和 (5), 得 ( ) ( ) ( )f x u x g x?0 0 00 200( ) ( ) ( )( ) l i m ,()xg x x g x v xgxx vxD ????? ? ? ?ΔΔ0020()1.() ()xxvxvx vx?? ?????????亦即 (5) 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,f x u x g x u x g x? ? ???00 0 0 020( ) ( ) ( ) ( )().() ()xxu x v x u x v xuxvx vx?? ???? ??????即返回 后頁 前頁 例 3 求下列函數(shù)的導數(shù)： 22 222c os si n 1 se c .c os c osxx xxx?? ? ?( i ) , 。xx? ?( ) ln .( ii i ) xxa a a? ?返回 后頁 前頁 證 ( i ) 由于 xxxxxxxxDDD???D?D? 2s i n)2s i n (2c o s)c o s (,)2s i n (22s i n xxxxD?DD??)2s i n (lim22s i nlim)( c o s00xxxxxxxD?DD????D? x??),(sin ????是而 x上的連續(xù)函數(shù)，所以 返回 后頁 前頁 (iii) 由于 因此 axaaaaxxxxln1elimln)( ln0 D??? D? aax? 特別有 .eelne)e( xxx ???,ln 1elnlnaxaaaxxD?? Dxaaxaa xxxxxD??D? DD? 1xaaxxD?? D 1e ln返回 后頁 前頁 三、導數(shù)的幾何意義 切線的方程是 記 ? 為 切線與 x 軸正向的夾角，則 f ?(x0) = tan? . 0 0 0( ) ( ) ( ) .y f x f x x x?? ? ?(8) 在用幾何問題引出導數(shù)概念時 , 已知 是曲線 0()fx?處切線的斜率 . ()y f x? 在點 00( , ( ) )P x f x 所以該 返回 后頁 前頁 由此可知 , f ?(x0) ? 0 說明 ? 是銳角 。返回 后頁 前頁 導數(shù)是微分學的核心概念 , 是研究函數(shù) 167。 f ?(x0) ? 0 說 ? ?0 00fx ?? ??說 明明 ? 是鈍角 。nxn? 是正整數(shù)( ii ) t a n , c o t 。x? 21( ii ) 。dddyxxy?反函數(shù)的導數(shù)。()()2( 1 為任意實數(shù)?? ?? ??? xx。lna xxx a x????( 5 ) ( ) ln , ( e ) e 。c otc s c)( c s c,t ans e c)( s e c xxxxxx ?????。)()1( vuvu ??????四、基本求導法則與公式 返回 后頁 前頁 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式： ( 1 ) ( ) 0 ( ) 。3 3 2xfx ?1, 0 ,1e( ii ) ( )0 , 0 .xxxgxx? ?? ?? ?? ??解 222 1 1 1( i ) ( ) se c13 3 2 21 t a n92xfxx? ? ? ? ??2211 .5 4 c o s9 c o s sin22xx x?? ??返回 后頁 前頁 ( ii ) 0x ?當 時,111211 e e( ) .( 1 e )xxxxgx ??? ??0x ?當 時, 因為101( 0 ) li m 0 0 ,1e xxxgx?? ???? ? ? ?????? ΔΔΔΔ所以 在 處不可導 . g 0x?101( 0 ) li m 0 1 ,1e xxxgx?? ???? ? ? ?????? ΔΔΔΔ返回 后頁 前頁 化某些連乘、連除式的求導 . ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln ( )( ( ) ) ( e ) e ( ( ) ln ( ) )v x v x u x v x u xu
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