倒數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)的概念-展示頁
2024-09-02 19:14本頁面
【正文】 y =f (x) 在點(diǎn) 的某個(gè)右鄰域 0x00000000( ) ( )( ) l i m ,( 6 )( ) ( )( ) l i m .xxf x x f xfxxf x x f xfxx?????????? ???????? ???ΔΔΔΔΔΔ返回 后頁 前頁 右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù) . 定理 如果函數(shù) y =f (x) 在點(diǎn) x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有 00( ) ( ) .f x f x?????在討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)上的可導(dǎo)性時(shí) , 本結(jié)論 定義，則 )()( 00 xf、xf ?? ??)( 0xf ? 存在的充要條件是 都存在，且 很有用處，請(qǐng)看下面例題 . 類比左、右極限與極限的關(guān)系，我們有： 返回 后頁 前頁 例 6 設(shè) 1 c os , 0 ,(), 0 .xxfxxx????? ??試討論 f (x) 在 x = 0 處的左、右導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù) . 解 容易看到 f (x) 在 x ? 0 處連續(xù) . 又因 1 c os , 0 ,( 0 ) ( 0 )1 , 0 ,xxf x fxxx?D?D?? D ? ?D? ?D ?D??所以 ，0c o s1lim)0(0?D D??? ??D? xxfx返回 后頁 前頁 DD00Δ( 0 ) l i m l i m 1 1 .Δxxxfx??? ??? ? ? ?，由于 )0()0( ?? ??? ff 故 f (x) 在 x = 0 處不可導(dǎo) . 返回 后頁 前頁 二、導(dǎo)函數(shù) 如果函數(shù) f 在區(qū)間 I 上的每一點(diǎn)都可導(dǎo) (對(duì)于區(qū)間 0( ) ( )( ) lim , .xf x x f xf x x IxDDD???? ??(7) .dd)( xyxf 或? 即 導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù) , 記作 定義了一個(gè)在區(qū)間 I 上的函數(shù)，稱為 f 在 I 上的 則稱 f 為區(qū)間 I 上的可導(dǎo)函數(shù) . 此時(shí) , 對(duì) I 上的任 端點(diǎn)考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù) , 如左端點(diǎn)考慮右導(dǎo)數(shù) ) , 僅為一個(gè)記號(hào)，學(xué)了微分之后就會(huì)知 注 這里 xydd意一點(diǎn) x 都有 f 的一個(gè)導(dǎo)數(shù) 與之對(duì)應(yīng) , 這就 ()0fx?返回 后頁 前頁 道，這個(gè)記號(hào)實(shí)質(zhì)是一個(gè)“微分的商” . .dd,d )(d 000xxxxxx xyyxxf????例 7 求函數(shù) y ? xn 的導(dǎo)數(shù)， n為正整數(shù) . 解 由于 x xxxxynnD?D??DD )(,2 )1( 121 ??? ????? nnn xxxnnnx DD ?相應(yīng)地， 也可表示為 )( 0xf ?.)2 )1((lim 11210 ?????D ?D??D???? nnnnx nxxxxnnnxy ?因此 返回 后頁 前頁 例 8 證明 : i ( s in ) c o s , ( c o s ) s in 。xx? ?( ) ln .( ii i ) xxa a a? ?返回 后頁 前頁 證 ( i ) 由于 xxxxxxxxDDD???D?D? 2s i n)2s i n (2c o s)c o s (,)2s i n (22s i n xxxxD?DD??)2s i n (lim22s i nlim)( c o s00xxxxxxxD?DD????D? x??),(sin ????是而 x上的連續(xù)函數(shù)，所以 返回 后頁 前頁 (iii) 由于 因此 axaaaaxxxxln1elimln)( ln0 D??? D? aax? 特別有 .eelne)e( xxx ???,ln 1elnlnaxaaaxxD?? Dxaaxaa xxxxxD??D? DD? 1xaaxxD?? D 1e ln返回 后頁 前頁 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 切線的方程是 記 ? 為 切線與 x 軸正向的夾角，則 f ?(x0) = tan? . 0 0 0( ) ( ) ( ) .y f x f x x x?? ? ?(8) 在用幾何問題引出導(dǎo)數(shù)概念時(shí) , 已知 是曲線 0()fx?處切線的斜率 . ()y f x? 在點(diǎn) 00( , ( ) )P x f x 所以該 返回 后頁 前頁 由此可知 , f ?(x0) ? 0 說明 ? 是銳角 。 軸平切線與 ( x.)行O0y??xy0y??0y???()y fx????點(diǎn)擊上圖動(dòng)畫演示 返回 后頁 前頁 則曲線 y = f (x) 在點(diǎn) P 的切線垂直于 x 軸，此時(shí) 符合上述特征 , 故在該點(diǎn) 1?xyxO31)1( ?? xy1 1 0000( ) ( )l i m l i m ,xxf x x f xyxxD ????? ? ?ΔΔΔΔ Δ特別要注意，如果 在點(diǎn) 連續(xù) , 且 f 0x.0xx ? 如右圖所示 , 曲 為 31)1( ?? xy 在點(diǎn) (1,0) 處 線 .1?x處的切線為 y = f (x) 在點(diǎn) P 的切 線方程 返回 后頁 前頁 例 9 求曲線 y ? ln x 在其上任一點(diǎn) P (x0 , ln x0 ) 處 的切線和法線方程 . 解 知道的由例 ii)(8因此 y = lnx 在點(diǎn) P 的切線方程和法線方程 分別為 ,)(1ln 000 xxxxy ???.)(ln 000 xxxxy ????? ? ,1ln000 xxyxxxx??????返回 后頁 前頁 方程 . 33 2000 1li m li m ,xxxx x??? ? ? ? ?Δ ΔΔΔ Δ例 10 求曲線 在點(diǎn) P(0, 0) 處的切線和法線 3 xy ?在點(diǎn) P ( 0, 0 ) 處的切線、法線方程分 所以 3 xy ?.00 ?? yx 和別為 解 由于 3 xy ? 在 處連續(xù) ,且 0x?返回 后頁 前頁 與瞬時(shí)變化率有關(guān)的物理問題還有很多，例如瞬 率，即 時(shí)電流強(qiáng)度 i(t) 是通過導(dǎo)線截面電量 q(t) 的變化 質(zhì)量分布不均勻的金屬絲，以 m (x) 表示從 0 到 ).()()(lim)(0tqt tqttqtit??D ?D???D x 的質(zhì)量，則它在 x 處的線密度 r (x) 是 m (x) 在 x 處的變化率，即 0( ) ( )( ) l i m ( ) .xm x x m xx m xxr ??? ???ΔΔΔ返回 后頁 前頁 除了上面介紹的幾何和物理問題外，導(dǎo)數(shù)在其他 定義 3 如果函數(shù) f 在點(diǎn) x0 的某個(gè)鄰域 U(x0) 上 對(duì)一切 x?U(x0) 有 ? ? ,)()()()( 00 xfxfxfxf ?? 或則稱函數(shù) f 在 x0 處取得極大 (或極小
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