導(dǎo)數(shù)概念及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-展示頁
2024-08-20 05:46本頁面
【正文】 終貫穿著函數(shù)思想 , 首先定義函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo) , 且在 x0 處有唯一的導(dǎo)數(shù) f?(x0), 然后定義函數(shù) y=f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo) , 因而對于 開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)每一個(gè)確定的值 , 都對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) f?(x0). 據(jù)函數(shù)定義 , 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)就構(gòu)成了一個(gè)新函數(shù) , 即導(dǎo)數(shù) . 三、知識要點(diǎn) 對于函數(shù) y=f(x), 如果自變量 x 在 x0 處有增量 Dx, 那么函數(shù) y 相應(yīng)的有增量 Dy=f(x0+Dx)f(x0), 比值 叫做函數(shù) y=f(x) 在 x0 到 x0+Dx 之間的平均變化率 , 即 = . Dx Dy Dx Dy Dx f(x0+Dx)f(x0) Dx Dy 如果當(dāng) Dx?0 時(shí) , 有極限 , 就說函數(shù) y=f(x) 在 點(diǎn) x0 處可導(dǎo) , 并把這個(gè)極限叫做 f(x) 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù) (或變化率 ), 記作 : f?(x0) 或 y? | x=x0, 即 : Dx f(x0+Dx)f(x0) f?(x0)=lim =lim . Dx?0 Dx Dy Dx?0 f?(x)=y?=lim =lim . Dx f(x+Dx)f(x) Dx?0 Dx Dy Dx?0 函數(shù) y=f(x) 的導(dǎo)數(shù) f?(x), 就是當(dāng) Dx?0 時(shí) , 函數(shù)的增量 Dy 與自變量的增量 Dx 的比 的極限 , 即 : Dx Dy 求函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)的步驟 : (2)求平均變化率 : = 。 Dx f(x0+Dx)f(x0) Dx Dy (1)求函數(shù)的增量 : Dy=f(x0+Dx)f(x0)。 (2)(sinx)?=cosx, (cosx)?=sinx。 1 x 1 x 典型例題 1 已知函數(shù) f(x)= (1)確定 a, b 的值 , 使 f(x) 在 x=0處連續(xù)、可導(dǎo) 。 (2)證明 : 若 f(x) 為偶函數(shù) , 則 f?(x) 為奇函數(shù) . (1)解 : 設(shè) f(x)=g(x), 則 =f?(a). ∴ f(x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)與 f(x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù) . (2)證 : ∵ f(x) 為偶函數(shù) , ∴ f?(x) 為奇函數(shù) . g?(a)=lim Dx?0 g(a+Dx)g(a) Dx =lim Dx?0 f(aDx)f(a) Dx =lim Dx?0 f(aDx)f(a) Dx =lim Dx?0 f(xDx)f(x) Dx =lim Dx?0 f(xDx)f(x) Dx =f?(x), Dx?0 f(x+Dx
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