導(dǎo)數(shù)概念及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(存儲版)
【正文】 =6t+1. ∴ v | t=2=13. 即當(dāng) t=2 時 , 質(zhì)點運動的瞬時速度為 13m/s. 注 (2)亦可直接對函數(shù)求導(dǎo)后解決 . 課后練習(xí) 4 如果曲線 y=x3+x10 的某一切線與直線 y=4x+3 平行 , 求切點坐標(biāo)與切線方程 . 解 : ∵ 切線與直線 y=4x+3 平行 , ∴ 切線斜率為 4. 又 切線在 x0 處斜率為 y? | x=x0 ∴ 3x02+1=4. ∴ x0=?1. 當(dāng) x0=1 時 , y0=8。 (2)證明 : 若 f(x) 為偶函數(shù) , 則 f?(x) 為奇函數(shù) . (1)解 : 設(shè) f(x)=g(x), 則 =f?(a). ∴ f(x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)與 f(x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù) . (2)證 : ∵ f(x) 為偶函數(shù) , ∴ f?(x) 為奇函數(shù) . g?(a)=lim Dx?0 g(a+Dx)g(a) Dx =lim Dx?0 f(aDx)f(a) Dx =lim Dx?0 f(aDx)f(a) Dx =lim Dx?0 f(xDx)f(x) Dx =lim Dx?0 f(xDx)f(x) Dx =f?(x), Dx?0 f(x+Dx)f(x) Dx ∴ f?(x)=lim 注 : 本題亦可利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解決 . 典型例題 3 已知曲線 C: y=x33x2+2x, 直線 l: y=kx, 且直線 l 與曲線 C 相切于點 (x0, y0)(x0?0), 求直線 l 的方程及切點坐標(biāo) . 解 : 由已知直線 l 過原點且其斜率 k= , x0 y0 ∵ 點 (x0, y0) 在曲線 C 上 , ∴ y0=x033x02+2x0. ∴ =x023x0+2. x0 y0 又 y?=3x26x+2, ∴ 在 點 (x0, y0) 處曲線 C 的切線斜率 k=y?|x=x0. ∴ x023x0+2=3x026x0+2. 整理得 2x023x0=0. 解得 x0= (∵ x0?0). 3 2 這時 y0= , k= . 3 8 1 4 ∴ 直線 l 的方程為 y= x, 1 4 切點坐標(biāo)是 ( , ). 3 8 3 2 注 有關(guān)曲線的切線問題 , 可考慮利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義 . 曲線 C 在某一定點處的切線是唯一的 , 因此斜率也是唯一的 (若存在的話 ), 采用斜率相等這一重要關(guān)系 , 往往都可解決這類問題 . 典型例題 4 求曲線 y=2 x2 與 y= x32 的交點處切線的夾角 (用弧度數(shù)作答 ). 1 2 1 4 解 : 由 y=2 x2 與 y= x32聯(lián)立方程組解得交點坐標(biāo)為 P(2, 0). 1 2 1 4 ∵ y=2 x2 的導(dǎo)函數(shù)為 y=x, 1 2 ∴ 它在 P 處的切線斜率 k1=2, 同理 , 曲線 y= x32 在 P 處的
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