導(dǎo)數(shù)概念及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(已修改)
2025-08-17 05:46 本頁面
【正文】 一、復(fù)習(xí)目標(biāo) 了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景 (瞬時速度 , 加速度 , 光滑曲線切線的斜率等 ), 掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義 , 理解導(dǎo)數(shù)的概念 , 熟記常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 c, xm(m 為有理數(shù) ), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的導(dǎo)數(shù) , 并能熟練應(yīng)用它們求有關(guān)導(dǎo)數(shù) . 二、重點解析 導(dǎo)數(shù)概念比較抽象 , 其定義、方法一般不太熟悉 , 因此對導(dǎo)數(shù)概念的理解是學(xué)習(xí)中的一個難點 . 本節(jié)要重點掌握根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 . 一方面 , 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)可進一步理解導(dǎo)數(shù)的概念 , 另一方面 , 許多法則都是由導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)出的 . 導(dǎo)函數(shù) (導(dǎo)數(shù) )是一個特殊的函數(shù) , 它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想 , 首先定義函數(shù) y=f(x) 在點 x0 處可導(dǎo) , 且在 x0 處有唯一的導(dǎo)數(shù) f?(x0), 然后定義函數(shù) y=f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo) , 因而對于 開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)每一個確定的值 , 都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù) f?(x0). 據(jù)函數(shù)定義 , 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)就構(gòu)成了一個新函數(shù) , 即導(dǎo)數(shù) . 三、知識要點 對于函數(shù) y=f(x), 如果自變量 x 在 x0 處有增量 Dx, 那么函數(shù) y 相應(yīng)的有增量 Dy=f(x0+Dx)f(x0), 比值 叫做函數(shù) y=f(x) 在 x0 到 x0+Dx 之間的平均變化率 , 即 = . Dx Dy Dx Dy Dx f(x0+Dx)f(x0) Dx Dy 如果當(dāng) Dx?0 時 , 有極限 , 就說函數(shù) y=f(x) 在 點 x0 處可導(dǎo) , 并把這個極限叫做 f(x) 在點 x0 處的導(dǎo)數(shù) (或變化率 ), 記作 : f?(x0) 或 y? | x=x0, 即 : Dx f(x0+Dx)f(x0) f?(x0)=lim =lim . Dx?0 Dx Dy Dx?0 f?(x)=y?=lim =lim . Dx f(x+Dx)f(x) Dx?0 Dx Dy Dx?0 函數(shù) y=f(x) 的導(dǎo)數(shù) f?(x), 就是當(dāng) Dx?0 時 , 函數(shù)的增量 Dy 與自變量的增量 Dx 的比 的極限 , 即 : Dx Dy 求函數(shù) y=f(x) 在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)的步驟 : (2)求平均變化率 : = 。 Dx f(x0+Dx)f(x0) Dx Dy (1)求函數(shù)的增量 : Dy=f(x0+Dx)f(x0)。 (3) 取極限 : 得導(dǎo)數(shù) f?(x0)=lim . Dx Dy Dx?0 如果函數(shù) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi) 每一點都可導(dǎo) , 就說 f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo) . 這時 , 對于開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)
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