【正文】 平均變化率 : = 。 (2)當(dāng) t=2 時(shí)的瞬時(shí)速度 . 解 : (1)∵ DS=3?++1(3?22+2+1) =. = ∴ v= Dt DS =(m/s). (2)∵ DS=3(t+Dt)2+(t+Dt)+1(3t2+t+1) =3Dt2+(1+6t)Dt, Dt DS ∴ = 3Dt2+(1+6t)Dt Dt =3Dt+1+6t. ∴ v=lim Dt DS Dt?0 =lim(3Dt+1+6t) Dt?0 =6t+1. ∴ v | t=2=13. 即當(dāng) t=2 時(shí) , 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度為 13m/s. 注 (2)亦可直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后解決 . 課后練習(xí) 4 如果曲線 y=x3+x10 的某一切線與直線 y=4x+3 平行 , 求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程 . 解 : ∵ 切線與直線 y=4x+3 平行 , ∴ 切線斜率為 4. 又 切線在 x0 處斜率為 y? | x=x0 ∴ 3x02+1=4. ∴ x0=?1. 當(dāng) x0=1 時(shí) , y0=8。 (4)(ex)?=ex, (ax)?=axlna. (3)(lnx)?= , (logax)?= logae。 (2)求曲線 y=f(x) 在點(diǎn) P(0, f(0)) 處的切線方程 . x2+x+1, x≤ 0, ax+b, x0. 解 : (1)要使 f(x) 在 x=0 處連續(xù) , 則需 lim f(x) =lim f(x)=f(0). x?0 x?0 + 而 lim f(x) =lim(x2+x+1)=1, f(0)=1, x?0 x?0 lim f(x) =lim(ax+b)=b, x?0 + x?0 + 故當(dāng) b=1 時(shí) , 可使 f(x) 在 x=0 處連續(xù) . 又 lim =lim Dx Dy [(0+Dx)2+(0+Dx)+1](02+0+1) Dx?0 Dx?0 Dx =lim (Dx+1)=1, Dx?0 Dx?0 + lim =lim Dx Dy [a(0+Dx)+b](02+0+1) Dx Dx?0 + =lim aDx+b1 Dx Dx?0 + =a+lim b1 Dx Dx?0 + 故當(dāng) b1=0 且 a=1 即 a=b=1 時(shí) , f(x) 在 x=0 處可導(dǎo) . 綜上所述 , 當(dāng) b=1, a?R 時(shí) , f(x) 在 x=0 處連續(xù) , 當(dāng) a=b=1 時(shí) , f(x) 在 x=0 處可導(dǎo) . (2)由 (1)知 , f?(0)=1, 又 f(0)=1, 故曲線 y=f(x) 在點(diǎn) P(0, f(0)) 處的切線方程為 y1=x0, 即 xy+1=0. 典型例題 2 若 f(x) 在 R 上可導(dǎo) , (1)求 f(x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)與 f(x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 。 Dx?0 Dx Dy Dx Dy 當(dāng) Dx0 時(shí) , =1, lim =1, Dx?0