導數(shù)概念及基本函數(shù)的導數(shù)(編輯修改稿)
2024-09-01 05:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 Dx Dx?0 + =a+lim b1 Dx Dx?0 + 故當 b1=0 且 a=1 即 a=b=1 時 , f(x) 在 x=0 處可導 . 綜上所述 , 當 b=1, a?R 時 , f(x) 在 x=0 處連續(xù) , 當 a=b=1 時 , f(x) 在 x=0 處可導 . (2)由 (1)知 , f?(0)=1, 又 f(0)=1, 故曲線 y=f(x) 在點 P(0, f(0)) 處的切線方程為 y1=x0, 即 xy+1=0. 典型例題 2 若 f(x) 在 R 上可導 , (1)求 f(x) 在 x=a 處的導數(shù)與 f(x) 在 x=a 處的導數(shù)的關(guān)系 。 (2)證明 : 若 f(x) 為偶函數(shù) , 則 f?(x) 為奇函數(shù) . (1)解 : 設(shè) f(x)=g(x), 則 =f?(a). ∴ f(x) 在 x=a 處的導數(shù)與 f(x) 在 x=a 處的導數(shù)互為相反數(shù) . (2)證 : ∵ f(x) 為偶函數(shù) , ∴ f?(x) 為奇函數(shù) . g?(a)=lim Dx?0 g(a+Dx)g(a) Dx =lim Dx?0 f(aDx)f(a) Dx =lim Dx?0 f(aDx)f(a) Dx =lim Dx?0 f(xDx)f(x) Dx =lim Dx?0 f(xDx)f(x) Dx =f?(x), Dx?0 f(x+Dx)f(x) Dx ∴ f?(x)=lim 注 : 本題亦可利用復(fù)合函數(shù)的求導法則解決 . 典型例題 3 已知曲線 C: y=x33x2+2x, 直線 l: y=kx, 且直線 l 與曲線 C 相切于點 (x0, y0)(x0?0), 求直線 l 的方程及切點坐標 . 解 : 由已知直線 l 過原點且其斜率 k= , x0 y0 ∵ 點 (x0, y0) 在曲線 C 上 , ∴ y0=x033x02+2x0. ∴ =x023x0+2. x0 y0 又 y?=3x26x+2, ∴ 在 點 (x0, y0) 處曲線 C 的切線斜率 k=y?|x=x0. ∴ x023x0+2=3x026x0+2. 整理得 2x023x0=0. 解得 x0= (∵ x0?0). 3 2 這時 y0= , k= . 3 8 1 4 ∴ 直線 l 的方程為 y= x, 1 4 切點坐標是 ( , ). 3 8 3 2 注 有關(guān)曲線的切線問題 , 可考慮利用導數(shù)的幾何意義 . 曲線 C 在某一定點處的切線是唯一的 , 因此斜率也是唯一的 (若存在的話 ), 采用斜率相等這一重要關(guān)系 , 往往都可解決這類問題 . 典型例題 4 求曲線 y=2 x2 與 y= x32 的交點處切線的夾角 (用弧度數(shù)作答 ). 1 2 1 4 解 : 由 y=2 x2 與 y= x32聯(lián)立方程組解得交點坐標為 P(2, 0).
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