導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的切線及函數(shù)零點(diǎn)問題(編輯修改稿)
2024-09-01 05:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 上的最大值為 f ??????－22＝ 2 . 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 (2) 設(shè)過點(diǎn) P (1 ， t ) 的直線與曲線 y ＝ f ( x ) 相切于點(diǎn) ( x0， y0) ， 則 y0＝ 2 x30－ 3 x0，且切線斜率為 k ＝ 6 x20－ 3 ， 所以切線方程為 y － y0＝ (6 x20－ 3)( x － x0) ， 因此 t － y0＝ (6 x20－ 3)( 1 － x0). 整理得 4 x30－ 6 x20＋ t ＋ 3 ＝ 0 ， 設(shè) g ( x ) ＝ 4 x3－ 6 x2＋ t ＋ 3 ， 則 “ 過點(diǎn) P (1 ， t ) 存在 3 條直線與曲線 y ＝ f ( x ) 相切 ” 等價(jià)于 “ g ( x )有 3 個(gè)不同零點(diǎn) ”. g ′( x ) ＝ 12 x2－ 12 x ＝ 12 x ( x － 1) ， 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 當(dāng) x變化時(shí)， g(x)與 g′(x)的變化情況如下： x (－ ∞ ， 0) 0 (0， 1) 1 (1，＋ ∞ ) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) t＋ 3 t＋ 1 所以 ， g(0)＝ t＋ 3是 g(x)的極大值 ， g(1)＝ t＋ 1是 g(x)的極小值 . 當(dāng) g(0)＝ t＋ 3≤ 0， 即 t≤ － 3時(shí) ， 此時(shí) g(x)在區(qū)間 (－ ∞ ， 1]和 [1，＋ ∞ )上分別至多有 1個(gè)零點(diǎn) ， 所以 g(x)至多有 2個(gè)零點(diǎn) . 當(dāng) g(1)＝ t＋ 1≥ 0， 即 t≥ － 1時(shí) ， 此時(shí) g(x)在區(qū)間 (－ ∞ ， 0)和 [0，＋ ∞ )上分別至多有 1個(gè)零點(diǎn) ， 所以 g(x)至多有 2個(gè)零點(diǎn) . 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 當(dāng) g(0)＞ 0且 g(1)＜ 0， 即－ 3＜ t＜－ 1時(shí) ， 因?yàn)?g(－ 1)＝ t－ 7＜ 0，g(2)＝ t＋ 11＞ 0， 所以 g(x)分別在區(qū)間 [－ 1， 0)， [0， 1)和 [1， 2)上恰有 1個(gè)零點(diǎn) ， 由于 g(x)在區(qū)間 (－ ∞ ， 0)和 (1， ＋ ∞ )上單調(diào) ， 所以 g(x)分別在區(qū)間 (－ ∞ ， 0)和 [1， ＋ ∞ )上恰有 1個(gè)零點(diǎn) . 綜上可知 ， 當(dāng)過點(diǎn) P(1， t)存在 3條直線與曲線 y＝ f(x)相切時(shí) ， t的取值范圍是 (－ 3， － 1). 探究提高 解決曲線的切線問題的關(guān)鍵是求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解題時(shí)先不要管其他條件，先使用曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表達(dá)切線方程，再考慮該切線與其他條件的關(guān)系，如本題第 (2)問中的切線過點(diǎn) (1， t). 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 【 訓(xùn)練 1 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x3－ x . ( 1 ) 設(shè) M ( λ 0 ， f ( λ 0 )) 是函數(shù) f ( x ) 圖象上的一點(diǎn) ， 求點(diǎn) M 處的切線方程； ( 2 ) 證明：過點(diǎn) N ( 2 ， 1 ) 可以作曲線 f ( x ) ＝ x3－ x 的三條切 線 . ( 1 ) 解 因?yàn)?f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 1. 所以曲線 f ( x ) ＝ x3－ x 在點(diǎn) M ( λ0， f ( λ0)) 處的切線的斜率為 k ＝ f ′ ( λ0)＝ 3 λ20－ 1. 所以切線方程為 y － ( λ30－ λ0) ＝ ( 3 λ20－ 1 )( x － λ0) ， 即 y ＝ ( 3 λ20－ 1 ) x － 2 λ30. ( 2 ) 證明 由 ( 1 ) 知曲線 f ( x ) ＝ x3－ x 在點(diǎn) ( λ ， f ( λ )) 處的切線的方程為 y ＝ ( 3 λ2－ 1 ) x － 2 λ3. 若切線過點(diǎn) N ( 2 ， 1 ) ， 則 1 ＝ 2 ( 3 λ2－ 1 ) － 2 λ3， 即 2 λ3－ 6 λ2＋ 3 ＝ 0. 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 過點(diǎn) N可作曲線 f(x)的三條切線等價(jià)于方程 2λ3－ 6λ2＋ 3＝ 0有三個(gè)不同的解 . 設(shè) g(λ)＝ 2λ3－ 6λ2＋ 3， 則 g′(λ)＝ 6λ2－ 12λ＝ 6λ(λ－ 2). 當(dāng) λ變化時(shí)， g′(λ)， g(λ)的變化情況如下表： λ (－ ∞ ， 0) 0 (0， 2) 2 (2，＋ ∞ ) g′(λ) ＋ 0 － 0 ＋ g(λ) 極大值 3 極小值－ 5 因?yàn)?g(λ)在 R上只有一個(gè)極大值 3和一個(gè)極小值－ 5， 所以過點(diǎn) N可以作曲線 f(x)＝ x3－ x的三條切線 . 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 熱點(diǎn)二 函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 [
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