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正文內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的切線及函數(shù)零點(diǎn)問題(編輯修改稿)

2024-09-01 05:46 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 上的最大值為 f ??????-22= 2 . 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 (2) 設(shè)過點(diǎn) P (1 , t ) 的直線與曲線 y = f ( x ) 相切于點(diǎn) ( x0, y0) , 則 y0= 2 x30- 3 x0,且切線斜率為 k = 6 x20- 3 , 所以切線方程為 y - y0= (6 x20- 3)( x - x0) , 因此 t - y0= (6 x20- 3)( 1 - x0). 整理得 4 x30- 6 x20+ t + 3 = 0 , 設(shè) g ( x ) = 4 x3- 6 x2+ t + 3 , 則 “ 過點(diǎn) P (1 , t ) 存在 3 條直線與曲線 y = f ( x ) 相切 ” 等價(jià)于 “ g ( x )有 3 個(gè)不同零點(diǎn) ”. g ′( x ) = 12 x2- 12 x = 12 x ( x - 1) , 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 當(dāng) x變化時(shí), g(x)與 g′(x)的變化情況如下: x (- ∞ , 0) 0 (0, 1) 1 (1,+ ∞ ) g′(x) + 0 - 0 + g(x) t+ 3 t+ 1 所以 , g(0)= t+ 3是 g(x)的極大值 , g(1)= t+ 1是 g(x)的極小值 . 當(dāng) g(0)= t+ 3≤ 0, 即 t≤ - 3時(shí) , 此時(shí) g(x)在區(qū)間 (- ∞ , 1]和 [1,+ ∞ )上分別至多有 1個(gè)零點(diǎn) , 所以 g(x)至多有 2個(gè)零點(diǎn) . 當(dāng) g(1)= t+ 1≥ 0, 即 t≥ - 1時(shí) , 此時(shí) g(x)在區(qū)間 (- ∞ , 0)和 [0,+ ∞ )上分別至多有 1個(gè)零點(diǎn) , 所以 g(x)至多有 2個(gè)零點(diǎn) . 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 當(dāng) g(0)> 0且 g(1)< 0, 即- 3< t<- 1時(shí) , 因?yàn)?g(- 1)= t- 7< 0,g(2)= t+ 11> 0, 所以 g(x)分別在區(qū)間 [- 1, 0), [0, 1)和 [1, 2)上恰有 1個(gè)零點(diǎn) , 由于 g(x)在區(qū)間 (- ∞ , 0)和 (1, + ∞ )上單調(diào) , 所以 g(x)分別在區(qū)間 (- ∞ , 0)和 [1, + ∞ )上恰有 1個(gè)零點(diǎn) . 綜上可知 , 當(dāng)過點(diǎn) P(1, t)存在 3條直線與曲線 y= f(x)相切時(shí) , t的取值范圍是 (- 3, - 1). 探究提高 解決曲線的切線問題的關(guān)鍵是求切點(diǎn)的橫坐標(biāo),解題時(shí)先不要管其他條件,先使用曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表達(dá)切線方程,再考慮該切線與其他條件的關(guān)系,如本題第 (2)問中的切線過點(diǎn) (1, t). 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 【 訓(xùn)練 1 】 已知函數(shù) f ( x ) = x3- x . ( 1 ) 設(shè) M ( λ 0 , f ( λ 0 )) 是函數(shù) f ( x ) 圖象上的一點(diǎn) , 求點(diǎn) M 處的切線方程; ( 2 ) 證明:過點(diǎn) N ( 2 , 1 ) 可以作曲線 f ( x ) = x3- x 的三條切 線 . ( 1 ) 解 因?yàn)?f ′ ( x ) = 3 x2- 1. 所以曲線 f ( x ) = x3- x 在點(diǎn) M ( λ0, f ( λ0)) 處的切線的斜率為 k = f ′ ( λ0)= 3 λ20- 1. 所以切線方程為 y - ( λ30- λ0) = ( 3 λ20- 1 )( x - λ0) , 即 y = ( 3 λ20- 1 ) x - 2 λ30. ( 2 ) 證明 由 ( 1 ) 知曲線 f ( x ) = x3- x 在點(diǎn) ( λ , f ( λ )) 處的切線的方程為 y = ( 3 λ2- 1 ) x - 2 λ3. 若切線過點(diǎn) N ( 2 , 1 ) , 則 1 = 2 ( 3 λ2- 1 ) - 2 λ3, 即 2 λ3- 6 λ2+ 3 = 0. 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 過點(diǎn) N可作曲線 f(x)的三條切線等價(jià)于方程 2λ3- 6λ2+ 3= 0有三個(gè)不同的解 . 設(shè) g(λ)= 2λ3- 6λ2+ 3, 則 g′(λ)= 6λ2- 12λ= 6λ(λ- 2). 當(dāng) λ變化時(shí), g′(λ), g(λ)的變化情況如下表: λ (- ∞ , 0) 0 (0, 2) 2 (2,+ ∞ ) g′(λ) + 0 - 0 + g(λ) 極大值 3 極小值- 5 因?yàn)?g(λ)在 R上只有一個(gè)極大值 3和一個(gè)極小值- 5, 所以過點(diǎn) N可以作曲線 f(x)= x3- x的三條切線 . 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 熱點(diǎn)二 函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 [
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