函數(shù)零點個數(shù)問題賞析(編輯修改稿)
2025-04-20 12:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 表：000極大值極小值由的單調(diào)性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根．綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則，即。例（2010年湖北高考卷文）設(shè)函數(shù)，其中，曲線在點處的切線方程為。（Ⅰ）確定的值；（Ⅱ）設(shè)曲線在點處的切線都過點（0,2）.證明：當時，；（Ⅲ）若過點可作曲線的三條不同切線，求的取值范圍。解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ） ， 。由于點處的切線方程為，而點（）在切線上，所以，化簡得，即滿足的方程為。過點（）可作的三條切線，等價于方程有三個相異的實根，即等價于方程有三個相異的實根。設(shè)，則。令＝0得列表如下：0＋0－0＋↗極大值1↘極小值↗由的單調(diào)性知，要使=0有三個相異的實根，當且僅當，即。故的取值范圍是。例（2008年湖南高考卷文）已知函數(shù)有三個極值點。（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若存在，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。解析：（I）證明：因為函數(shù)有三個極值點，也即有三個互異的實根。 設(shè)，則，其單調(diào)性與極值如下表：
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