二次函數(shù)綜合問題之拋物線與直線交點個數(shù)問題(編輯修改稿)
2025-04-20 06:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的部分沿x軸翻折后，開口向下的部分的函數(shù)解析式為y=﹣2（x﹣1）（x+3）． 顯然，當(dāng)y=x+b與y=﹣2（x﹣1）（x+3）（﹣3＜x＜1）相切時，y=x+b與這個二次函數(shù)圖象有三個交點，若直線再向上移，則只有兩個交點．因為b＜3，而y=x+b（b小于k，k=3），所以當(dāng)b=3時，將y=x+3代入二次函數(shù)y=﹣2（x﹣1）（x+3）整理得，4x2+9x﹣6=0，△＞0，所以方程有兩根，那么肯定不將有直線與兩截結(jié)合的二次函數(shù)圖象相交只有兩個公共點．這種情況故舍去．綜上，﹣＜b＜．點評：考查知識點：一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)及函數(shù)圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數(shù)的結(jié)合等問題．不錯的題目，難度不大，綜合性強，考查面廣，似乎是一個趨勢或熱點． 5．（2012?東城區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3=0．（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；（2）若正整數(shù)m滿足8﹣2m＞2，設(shè)二次函數(shù)y=（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y=kx+3與此圖象恰好有三個公共點時，求出k的值（只需要求出兩個滿足題意的k值即可）．考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，由一元二次方程的定義和根的判別式可求m的取值范圍；（2）先求出正整數(shù)m的值，從而確定二次函數(shù)的解析式，得到解析式與x軸交點的坐標(biāo)，由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B．從而求出k的值．解答：解：（1）△=（4﹣m）2﹣12（1﹣m）=（m+2）2，由題意得，（m+2）2＞0且1﹣m≠0．故符合題意的m的取值范圍是m≠﹣2且m≠1的一切實數(shù)． （2）∵正整數(shù)m滿足8﹣2m＞2，∴m可取的值為1和2．又∵二次函數(shù)y=（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3，∴m=2．…（4分）∴二次函數(shù)為y=﹣x2+2x+3．∴A點、B點的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（3，0）．依題意翻折后的圖象如圖所示．由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B．可求出此時k的值分別為3或﹣1．…（7分）注：若學(xué)生利用直線與拋物線相切求出k=2也是符合題意的答案．點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．（1）考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）得到符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B是解題的關(guān)鍵． 6．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+mx+m2﹣3m+2與x軸的交點分別為原點O和點A，點B（4，n）在這條拋物線上．（1）求B點的坐標(biāo)；（2）將此拋物線的圖象向上平移個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍．考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題．分析：（1）把原點坐標(biāo)代入拋物線，解關(guān)于m的一元二次方程得到m的值，再根據(jù)二次項系數(shù)不等于0確定出函數(shù)解析式，再把點B坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出n的值，即可得解；（2）根據(jù)向上平移縱坐標(biāo)加解答即可；（3）把直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)△=0求出b的值，然后令y=0求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，再求出直線經(jīng)過拋物線與x軸左邊交點的b值，然后根據(jù)圖形寫出b的取值范圍即可．解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過原點O，∴m2﹣3m+2=0，解得m1=1，m2=2，當(dāng)m=1時，﹣=﹣=0，∴m=2，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x，∵點B（4，n）在這條拋物線上，∴n=﹣42+34=﹣8+12=4，∴點B（4，4）；（2）∵拋物線的圖象向上平移個單位，∴平移后的圖象的解析式y(tǒng)=﹣x2+3x+；（3）聯(lián)立，
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