二次函數(shù)綜合問題之拋物線與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題-文庫吧
2025-03-09 06:27 本頁面
【正文】 解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，有一定的難度． 3．（2013?豐臺(tái)區(qū)一模）二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象如圖所示，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，﹣4）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合新圖象回答：當(dāng)直線y=x+n與這個(gè)新圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求n的取值范圍．考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與幾何變換．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，即可得出二次函數(shù)的解析式．（2）求出兩個(gè)邊界點(diǎn)，繼而可得出n的取值范圍．解答：解：（1）因?yàn)镸（1，﹣4）是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3，（2）令x2﹣2x﹣3=0，解之得：x1=﹣1，x2=3，故A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），B（3，0）．如圖，當(dāng)直線y=x+n（n＜1），經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，可得n=1，當(dāng)直線y=x+n經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，可得n=﹣3，∴n的取值范圍為﹣3＜n＜1，翻折后的二次函數(shù)解析式為二次函數(shù)y=﹣x2+2x+3當(dāng)直線y=x+n與二次函數(shù)y=﹣x2+2x+3的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x+n=﹣x2+2x+3，整理得：x2﹣x+n﹣3=0，△=b2﹣4ac=1﹣4（n﹣3）=13﹣4n=0，解得：n=，∴n的取值范圍為：n＞，由圖可知，符合題意的n的取值范圍為：n＞或﹣3＜n＜1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識(shí)，難點(diǎn)在第二問，關(guān)鍵是求出邊界點(diǎn)時(shí)n的值． 4．（2009?北京）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù)．（1）求k的值；（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k﹣1的圖象向下平移8個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象．請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b（b＜k）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題．分析：（1）綜合根的判別式及k的要求求出k的取值；（2）對(duì)k的取值進(jìn)行一一驗(yàn)證，求出符合要求的k值，再結(jié)合拋物線平移的規(guī)律寫出其平移后的解析式；（3）求出新拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再分別求出直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)A、B時(shí)的b的取值，進(jìn)而求出其取值范圍．本題第二問是難點(diǎn)，主要是不會(huì)借助計(jì)算淘汰不合題意的k值．解答：解：（1）由題意得，△=16﹣8（k﹣1）≥0．∴k≤3．∵k為正整數(shù)，∴k=1，2，3；（2）設(shè)方程2x2+4x+k﹣1=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣2，x1?x2=．當(dāng)k=1時(shí)，方程2x2+4x+k﹣1=0有一個(gè)根為零；當(dāng)k=2時(shí)，x1?x2=，方程2x2+4x+k﹣1=0沒有兩個(gè)不同的非零整數(shù)根；當(dāng)k=3時(shí)，方程2x2+4x+k﹣1=0有兩個(gè)相同的非零實(shí)數(shù)根﹣1．綜上所述，k=1和k=2不合題意，舍去，k=3符合題意．當(dāng)k=3時(shí)，二次函數(shù)為y=2x2+4x+2，把它的圖象向下平移8個(gè)單位得到的圖象的解析式為y=2x2+4x﹣6；（3）設(shè)二次函數(shù)y=2x2+4x﹣6的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，則A（﹣3，0），B（1，0）．依題意翻折后的圖象如圖所示．當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，可得b=；當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，可得b=﹣．由圖象可知，符合題意的b（b＜3）的取值范圍為＜b＜．（3）依圖象得，要圖象y=x+b（b小于k）與二次函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，顯然有兩段．而因式分解得y=2x2+4x﹣6=2（x﹣1）（x+3），第一段，當(dāng)y=x+b過（1，0）時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)b=﹣．當(dāng)y=x+b過（﹣3，0）時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)b=．而在此中間即為兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)﹣＜b＜．第二段，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方
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