二次函數(shù)綜合問題之拋物線與直線交點個數(shù)問題(已修改)
2025-04-05 06:27 本頁面
【正文】 .. . . ..二次函數(shù)綜合問題之拋物線與直線交點個數(shù)1．（2014?北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過點A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求拋物線的表達式及對稱軸；（2）設點B關于原點的對稱點為C，點D是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點）．若直線CD 與圖象G有公共點，結合函數(shù)圖象，求點D縱坐標t的取值范圍．考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題．分析：（1）將A與B坐標代入拋物線解析式求出m與n的值，確定出拋物線解析式，求出對稱軸即可；（2）由題意確定出C坐標，以及二次函數(shù)的最小值，確定出D縱坐標的最小值，求出直線BC解析式，令x=1求出y的值，即可確定出t的范圍．解答：解：（1）∵拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過點A（0，﹣2），B（3，4），代入得：，解得：，∴拋物線解析式為y=2x2﹣4x﹣2，對稱軸為直線x=1；（2）由題意得：C（﹣3，﹣4），二次函數(shù)y=2x2﹣4x﹣2的最小值為﹣4，由函數(shù)圖象得出D縱坐標最小值為﹣4，設直線BC解析式為y=kx+b，將B與C坐標代入得：，解得：k=，b=0，∴直線BC解析式為y=x，當x=1時，y=，則t的范圍為﹣4≤t≤．點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵． 2．（2011?石景山區(qū)二模）已知：拋物線與x軸交于A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于C（0，4）．（1）求拋物線頂點D的坐標；（2）設直線CD交x軸于點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線向上最多可以平移多少個單位長度，向下最多可以平移多少個單位長度？考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：探究型．分析：（1）先設出過A（﹣2，0）、B（4，0）兩點的拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4），再根據(jù)拋物線與y軸的交點坐標即可求出a的值，進而得出此拋物線的解析式；（2）先用待定系數(shù)法求出直線CD解析式，再根據(jù)拋物線平移的法則得到（1）中拋物線向下平移m各單位所得拋物線的解析式，再將此解析式與直線CD的解析式聯(lián)立，根據(jù)兩函數(shù)圖象有交點即可求出m的取值范圍，進而可得到拋物線向下最多可平移多少個單位；同理可求出拋物線向上最多可平移多少個單位．解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4），∵C點坐標為（0，4），∴a=﹣，（1分）∴解析式為y=﹣x2+x+4，頂點D坐標為（1，）；（2分）（2）直線CD解析式為y=kx+b．則，∴，∴直線CD解析式為y=x+4，（3分）∴E（﹣8，0），F(xiàn)（4，6），若拋物線向下移m個單位，其解析式y(tǒng)=﹣x2+x+4﹣m（m＞0），由消去y，得﹣x2+x﹣m=0，∵△=﹣2m≥0，∴0＜m≤，∴向下最多可平移個單位．（5分）若拋物線向上移m個單位，其解析式y(tǒng)=﹣x2+x+4+m（m＞0），方法一：當x=﹣8時，y=﹣36+m，當x=4時，y=m，要使拋物線與EF有公共點，則﹣36+m≤0或m≤6，∴0＜m≤36；（7分）方法二：當平移后的拋物線過點E（﹣8，0）時，解得m=36，當平移后的拋物線過點F（4，6）時，m=6，由題意知：拋物線向上最多可以平移36個單位長度，（7分）綜上，要使拋物線與EF有公共點，向上最多可平移36個單位，向下最多可平移個單位．點評：本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的
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