導(dǎo)數(shù)概念及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-免費閱讀
【正文】 Dx?0 Dx Dy Dx Dy 當(dāng) Dx0 時 , =1, lim =1, Dx?0 Dx Dy Dx Dy 注 函數(shù)在一點連續(xù) , 但不一定可導(dǎo) 。 Dx f(x0+Dx)f(x0) Dx Dy (1)求函數(shù)的增量 : Dy=f(x0+Dx)f(x0)。 (2)求曲線 y=f(x) 在點 P(0, f(0)) 處的切線方程 . x2+x+1, x≤ 0, ax+b, x0. 解 : (1)要使 f(x) 在 x=0 處連續(xù) , 則需 lim f(x) =lim f(x)=f(0). x?0 x?0 + 而 lim f(x) =lim(x2+x+1)=1, f(0)=1, x?0 x?0 lim f(x) =lim(ax+b)=b, x?0 + x?0 + 故當(dāng) b=1 時 , 可使 f(x) 在 x=0 處連續(xù) . 又 lim =lim Dx Dy [(0+Dx)2+(0+Dx)+1](02+0+1) Dx?0 Dx?0 Dx =lim (Dx+1)=1, Dx?0 Dx?0 + lim =lim Dx Dy [a(0+Dx)+b](02+0+1) Dx Dx?0 + =lim aDx+b1 Dx Dx?0 + =a+lim b1 Dx Dx?0 + 故當(dāng) b1=0 且 a=1 即 a=b=1 時 , f(x) 在 x=0 處可導(dǎo) . 綜上所述 , 當(dāng) b=1, a?R 時 , f(x) 在 x=0 處連續(xù) , 當(dāng) a=b=1 時 , f(x) 在 x=0 處可導(dǎo) . (2)由 (1)知 , f?(0)=1, 又 f(0)=1, 故曲線 y=f(x) 在點 P(0, f(0)) 處的切線方程為 y1=x0, 即 xy+1=0. 典型例題 2 若 f(x) 在 R 上可導(dǎo) , (1)求 f(x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)與 f(x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 。 當(dāng) x0=1 時 , y0=12. ∴ 切點坐標為 (1, 8) 或 (1, 12). 切線方程為 y=4x12 或 y=4x8. =(x3+x10)? | x=x0 =3x02+1. 課后練習(xí) 5 已知曲線 S: y=x36x2x+6. (1)求 S 上斜率最小的切線方程 。 (4)(ex)?=ex, (ax)?=axlna. (3)(lnx)?= , (logax)?= logae。 (2)(sinx)?=cosx, (cosx)?=sinx。 (2)當(dāng) t=2 時的瞬時速度 . 解 : (1)∵ DS=3?++1(3?22+2+1) =. = ∴ v= Dt DS =(m/s). (2)∵ DS=3(t+Dt)2+(t+Dt)+1(3t2+t+1) =3Dt2+(1+6t)Dt, Dt DS ∴ = 3Dt2+(1+6t)Dt Dt =3Dt+1+6t. ∴ v=lim Dt DS Dt?0 =lim(3Dt+1+6t) Dt?0
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