【正文】 s i n)( c os,c os)( s i n)3( xxxx ?????。1 x?2( ii i) ln ( 1 ) .xx??返回 后頁 前頁 解 運用復合求導法則 , 分別計算如下 : 12222 1( i ) ( ) ( 1 ) ( 1 )12 xxx???? ? ?? 2 .1xx??2 3 2 2211( i i ) ( 1 ) ( 1 )21xxx?????? ?? ? ? ????23.( 1 )xx???返回 后頁 前頁 2( i i i ) l n ( 1 )xx ?????????221 ( 1 )11xx x x??? ? ?221 ( 1 )1xxx x?? ? ?? ?21 .1 x??返回 后頁 前頁 例 8 求下列函數的導數 : 21( i ) ( ) a r c t a n ( t a n ) 。 軸平切線與 ( x.)行O0y??xy0y??0y???()y fx????點擊上圖動畫演示 返回 后頁 前頁 則曲線 y = f (x) 在點 P 的切線垂直于 x 軸，此時 符合上述特征 , 故在該點 1?xyxO31)1( ?? xy1 1 0000( ) ( )l i m l i m ,xxf x x f xyxxD ????? ? ?ΔΔΔΔ Δ特別要注意，如果 在點 連續(xù) , 且 f 0x.0xx ? 如右圖所示 , 曲 為 31)1( ?? xy 在點 (1,0) 處 線 .1?x處的切線為 y = f (x) 在點 P 的切 線方程 返回 后頁 前頁 例 9 求曲線 y ? ln x 在其上任一點 P (x0 , ln x0 ) 處 的切線和法線方程 . 解 知道的由例 ii)(8因此 y = lnx 在點 P 的切線方程和法線方程 分別為 ,)(1ln 000 xxxxy ???.)(ln 000 xxxxy ????? ? ,1ln000 xxyxxxx??????返回 后頁 前頁 方程 . 33 2000 1li m li m ,xxxx x??? ? ? ? ?Δ ΔΔΔ Δ例 10 求曲線 在點 P(0, 0) 處的切線和法線 3 xy ?在點 P ( 0, 0 ) 處的切線、法線方程分 所以 3 xy ?.00 ?? yx 和別為 解 由于 3 xy ? 在 處連續(xù) ,且 0x?返回 后頁 前頁 與瞬時變化率有關的物理問題還有很多，例如瞬 率，即 時電流強度 i(t) 是通過導線截面電量 q(t) 的變化 質量分布不均勻的金屬絲，以 m (x) 表示從 0 到 ).()()(lim)(0tqt tqttqtit??D ?D???D x 的質量，則它在 x 處的線密度 r (x) 是 m (x) 在 x 處的變化率，即 0( ) ( )( ) l i m ( ) .xm x x m xx m xxr ??? ???ΔΔΔ返回 后頁 前頁 除了上面介紹的幾何和物理問題外，導數在其他 定義 3 如果函數 f 在點 x0 的某個鄰域 U(x0) 上 對一切 x?U(x0) 有 ? ? ,)()()()( 00 xfxfxfxf ?? 或則稱函數 f 在 x0 處取得極大 (或極小 )值 , 稱 點 x0 值 , 極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點 . 為極大 (或極?。┲迭c . 極大值、極小值統(tǒng)稱為極 領域 (如經濟、化學、生物等 )也有廣泛的應用 . 返回 后頁 前頁 如圖，函數 在 處取極小值 ,在 ()y f x? 1 2 4,x x x1x 2x 3xO xa b4xy○ () x x x x??? ? ?1( lo g ) lo g( e ( 0 , 0ii ) , 0 ) ,aax a a xx? ? ? ? ?我們只證明 ( i ) 的第二式和 ( iii ) . 1(ln ) 。 0 0 .x y x y? ? ? ? ? ?Δ Δ Δ Δ? ?00 0011l i m .()limxyyfxxxyyDD???? ? ? ??ΔΔΔΔ例 4 求下列函數的導數： ,0)( 0 ?? y? 便可證得 注意到 單調 , 從而有 ( i) a r c s in a r c c o s 。)()1( vuvu ??????四、基本求導法則與公式 返回 后頁 前頁 基本初等函數的導數公式： ( 1 ) ( ) 0 ( ) 。lna xxx a x????( 5 ) ( ) ln , ( e ) e 。dddyxxy?反函數的導數。nxn? 是正整數( ii ) t a n , c o t 。返回 后頁 前頁 導數是微分學的核心概念 , 是研究函數 167。 2 求導法則 導數很有用 ， 但全憑定義來計算導 四、基本求導法則與公式 三、復合函數的導數 二、反函數的導數 求導法則 , 使導數運算變得較為簡便 . 數是不方便的 . 為此要建立一些有效的 返回返回 后頁 前頁 一、導數的四則運算 0 00( ( ) ( ) ) ( ) ( ) . ( 1 )xxu x v x u x v x?? ? ?? ? ?在點 x0 也可導 , 且 ( ) ( ) ( )f x u x v x??0 0 0 0 0( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 2 )xxu x v x u x v x u x v x?? ? ???推論 若 u (x) 在點 x0 可導 ,c 是常數 ， 則 在點 x0 也可導 , 且 ( ) ( ) ( )f x u x v x?定理 若函數 在點 x0 可導 , 則函數 ( ), ( )u x v x定理 若函數 在點 x0 可導 , 則函數 ( ), ( )u x v x返回 后頁 前頁 ( ( ) ) ( ) . ( )0 0 3xxc u x c u x??? ?( ) .uv w u v w uv w uv w? ? ? ?? ? ?定理 可推廣到任意有限個函數相乘的情形 , 如 下面證明乘積公式 (2), 請讀者自行證明公式 (1) . ( ) ( ) ( ) ( )( ) l im 0 0 0 00 Δ 0Δ ΔΔxu x x v x x u x v xfxx?? ? ?? ?0 0 0 0Δ 0( Δ )( Δ ) ( ) ( Δ )limΔxu x x v x x u x v x xx?? ? ? ? ???? 證 (2) 按定義可得 返回 后頁 前頁 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x v x x u x v xxDD??????0000( ) ( )l i m ( )xu x x u x v x xxDD DD?????注意