導(dǎo)數(shù)概念及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-文庫吧
2025-07-21 05:46 本頁面
【正文】 每一個(gè)確定的值 x0, 都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) f?(x0), 這樣就在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù) , 我們把這一新函數(shù)叫做 f(x) 在開區(qū)間 (a, b)內(nèi)的 導(dǎo)函數(shù) , 記作 f?(x) 或 y?(需指明自變量 x 時(shí)記作 y?x), 即 : 函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù) f?(x0), 就是曲線y=f(x) 在點(diǎn) P(x0, f(x0)) 處的切線的斜率 k, 即 : k=tan?=f?(x0). 相應(yīng)的切線方程為 yy0=f?(x0)(xx0). (1)幾何意義 : (2)物理意義 : 函數(shù) S=s(t) 在點(diǎn) t0 處的導(dǎo)數(shù) s?(t0), 就是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為 S=s(t) 時(shí) , 物體運(yùn)動(dòng)在 時(shí)刻 t0 時(shí)的瞬時(shí)速度 v, 即 : v=s?(t0). 設(shè) v=v(t) 是速度函數(shù) , 則 v?(t0)表示物體在 時(shí)刻 t=t0 時(shí)的加速度 . f?(x)=y?=lim =lim . Dx f(x+Dx)f(x) Dx?0 Dx Dy Dx?0 導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù) . 當(dāng) x0?(a, b) 時(shí) , 函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù) f?(x0) 等于 函數(shù) f(x) 在 開區(qū)間 (a, b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù) f?(x) 在點(diǎn) x0 處的函數(shù)值 . 如果函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo) , 那么函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù) , 但要注意連續(xù)不一定可導(dǎo) . (1)c?=0(c 為常數(shù) ), (xn)?=nxn1(n?Q)。 (2)(sinx)?=cosx, (cosx)?=sinx。 (4)(ex)?=ex, (ax)?=axlna. (3)(lnx)?= , (logax)?= logae。 1 x 1 x 典型例題 1 已知函數(shù) f(x)= (1)確定 a, b 的值 , 使 f(x) 在 x=0處連續(xù)、可導(dǎo) 。 (2)求曲線 y=f(x) 在點(diǎn) P(0, f(0)) 處的切線方程 . x2+x+1, x≤ 0, ax+b, x0. 解 : (1)要使 f(x) 在 x=0 處連續(xù) , 則需 lim f(x) =lim f(x)=f(0). x?0 x?0 + 而 lim f(x) =lim(x2+x+1)=1, f(0)=1, x?0 x?0 lim f(x) =lim(ax+b)=b, x?0 + x?0 + 故當(dāng) b=1 時(shí) , 可使 f(x) 在 x=0 處連續(xù) . 又 lim =lim Dx Dy [(0+Dx)2+(0+Dx)+1](02+0+1) Dx?0 Dx?0 Dx =lim (Dx+1)=1, Dx?0 Dx?0 + lim =lim Dx Dy [a(0+Dx)+b](02+0+1) Dx Dx?0 + =lim aDx+b1
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