導(dǎo)數(shù)概念及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-wenkub
2022-09-02 05:46:08 本頁面
【正文】 典型例題 4 求曲線 y=2 x2 與 y= x32 的交點處切線的夾角 (用弧度數(shù)作答 ). 1 2 1 4 解 : 由 y=2 x2 與 y= x32聯(lián)立方程組解得交點坐標(biāo)為 P(2, 0). 1 2 1 4 ∵ y=2 x2 的導(dǎo)函數(shù)為 y=x, 1 2 ∴ 它在 P 處的切線斜率 k1=2, 同理 , 曲線 y= x32 在 P 處的切線斜率 k2=3, 1 4 由夾角公式 tan?=| |=1 得 k2k1 1+k2k1 ? 4 ?= . 故兩曲線的交點處切線的夾角為 . ? 4 課后練習(xí) 1 已知函數(shù) f(x)= 判斷 f(x) 在 x=1 處是否可導(dǎo) . (x2+1), x≤ 1, (x+1), x1. 1 2 1 2 Dx Dy ∴ lim ?lim , Dx Dy Dx?0 Dx?0 + 解 : ∵ lim =lim Dx Dy Dx?0 [(1+Dx)2+1] (12+1) Dx?0 Dx 1 2 1 2 lim =lim Dx Dy Dx?0 + Dx?0 + (1+Dx+1) (12+1) Dx 1 2 1 2 =1, = , 1 2 ∴ f(x) 在 x=1 處不可導(dǎo) . 注 判定分段函數(shù)在“分界點處”的導(dǎo)數(shù)是否存在 , 要驗證其左、右極限是否存在且相等 , 如果存在且相等 , 那么這點的導(dǎo)數(shù)存在 , 否則不存在 . =lim (1+ Dx) 1 2 Dx?0 =lim 1 2 Dx?0 + Dx Dx Dx?0 Dx Dy 從而 lim 不存在 . 課后練習(xí) 2 若函數(shù) f(x)=|x|, (1)試判斷 f(x) 在 x=0 處是否可導(dǎo) 。 (2)(sinx)?=cosx, (cosx)?=sinx。一、復(fù)習(xí)目標(biāo) 了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景 (瞬時速度 , 加速度 , 光滑曲線切線的斜率等 ), 掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義 , 理解導(dǎo)數(shù)的概念 , 熟記常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 c, xm(m 為有理數(shù) ), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的導(dǎo)數(shù) , 并能熟練應(yīng)用它們求有關(guān)導(dǎo)數(shù) . 二、重點解析 導(dǎo)數(shù)概念比較抽象 , 其定義、方法一般不太熟悉 , 因此對導(dǎo)數(shù)概念的理解是學(xué)習(xí)中的一個難點 . 本節(jié)要重點掌握根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 . 一方面 , 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)可進一步理解導(dǎo)數(shù)的概念 , 另一方面 , 許多法則都是由導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)出的 . 導(dǎo)函數(shù) (導(dǎo)數(shù) )是一個特殊的函數(shù) , 它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想 , 首先定義函數(shù) y=f(x) 在點 x0 處可導(dǎo) , 且在 x0 處有唯一的導(dǎo)數(shù) f?(x0), 然后定義函數(shù) y=f(x) 在開區(qū)間
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