【正文】 算法則 ,包括高階導(dǎo)數(shù)的 萊布尼茲公式 . 導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的核心概念 , 是研究函數(shù) 167。 3. 熟練掌握反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，和常見類型函數(shù)形 式的求導(dǎo)方法 。牛頓從第一個問題出發(fā)，萊布尼茲從第二個問題出發(fā)，分別給出了導(dǎo)數(shù)的概念。（ 2）求曲線上一點處的切線。 Chapt 5 導(dǎo)數(shù)和微分 15世紀(jì)文藝復(fù)興以后的歐洲，資本主義逐漸發(fā)展，采礦冶煉、機(jī)器發(fā)明、商業(yè)交往、槍炮制造、遠(yuǎn)洋航海、天象觀測等大量實際問題，給數(shù)學(xué)提出了前所未有的亟待解決的新課題。其中有兩類問題導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生：（ 1）求變速運(yùn)動的瞬時速度 。這兩類問題都?xì)w結(jié)為變量變化的快慢程度，即變化率問題。 教學(xué)目標(biāo)： . 2. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 。 4. 熟記基本初等函數(shù)與常見的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式 。 1 導(dǎo)數(shù)的概念 一、導(dǎo)數(shù)的概念 化率 ” , 就離不開導(dǎo)數(shù) . 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 二、導(dǎo)函數(shù) 態(tài)的有力工具 .無論何種學(xué)科 ,只要涉及 “ 變 與自變量關(guān)系的產(chǎn)物 ,又是深刻研究函數(shù)性 一、導(dǎo)數(shù)的概念 一般認(rèn)為 , 求變速運(yùn)動的瞬時速度，求已知曲線 別在研究瞬時速度和曲線的 牛頓 ( 1642－ 1727, 英國 ) 兩個關(guān)于導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典例子 . 切線時發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的 . 下面是 微分學(xué)產(chǎn)生的三個源頭 . 牛頓和萊布尼茨就是分 上一點處的切線，求函數(shù)的最大、最小值，這是 1. 瞬時速度 設(shè)一質(zhì)點作直線運(yùn)動 , 質(zhì)點的位置 s 是 ? ? ? ? .00tttstsv???當(dāng) t 越來越接近 t0 時，平均速度就越來越接近 t0 時間 t 的函數(shù) , 即其運(yùn)動規(guī)律是 則在某 ,)(tss ?? ? ? ? vtttststt???? 000l i m (1) 時刻的瞬時速度 . 嚴(yán)格地說 , 當(dāng)極限 時刻 t0 及鄰近時刻 t 之間的平均速度是 2. 切線的斜率 如圖所示 , .)()(00_xxxfxfk???存在時 , 這個極限就是質(zhì)點在 t0 時刻的瞬時速度 . 其上一點 P( x0, y0 ) 處 的切線 點 Q , 作曲線的割線 PQ ，這 PT. 為此我們在 P 的鄰近取一 需要尋找曲線 y = f (x) 在 條割線的斜率為 QT?0x xO xyP??()y f x?答 : 它就是曲線在點 P 的切線 PT 的斜率 . 的極限若存在，則這個極限 會是什么呢？ 設(shè)想一下 ,當(dāng)動點 Q 沿此曲線無限接近點 P 時， k00 )()(lim0 xxxfxfkxx ????(2) 切線問題 割線的極限位置 ——切線位置 切線問題 割線的極限位置 ——切線位置 切線問題 割線的極限位置 ——切線位置 切線問題 割線的極限位置 ——切線位置 切線問題 割線的極限位置 ——切線位置 切線問題 割線的極限位置 ——切線位置 切線問題 割線的極限位置 ——切線位置 切線問題 割線的極限位置 ——切線位置 切線問題 割線的極限位置 ——切線位置 切線問題 割線的極限位置 ——切線位置 上面兩個問題雖然出發(fā)點相異，但都可歸結(jié)為同 x0 處關(guān)于 x 的瞬時變化率 (或簡稱變化率 ). 均變化率，增量比的極限 (如果存在 ) 稱為 f 在點 的極限 . 這個增量比稱為函數(shù) f 關(guān)于自變量的平 D y = f (x) – f (x0) 與自變量增量 D x = x – xo 之比 一類型的數(shù)學(xué)問題： 求函數(shù) f 在點 x0 處 的增量 上述兩個問題的實際意義完全不同，一個是物理學(xué)中的瞬時速度，一個是幾何學(xué)中的切線斜率。() x x x x??? ? ?1( lo g ) lo g( e ( 0 , 0ii ) , 0 ) ,aax a a xx? ? ? ? ?我們只證明 ( i ) 的第二式和 ( iii ) . 1(ln ) 。 f ?(x0) ? 0 說 ? ?0 00fx ?? ??說 明明 ? 是鈍角 。 ()y f x?5x6x外 , 在 處 6x是極值點 . 切線 , 但它不 雖然也有水平 足為奇的 . 此 現(xiàn)象 , 那是不 因此如果出現(xiàn)某一極大值反而小于另一極小值的 35,xx處取極大值 . 由于極值是一個局部性概念 , 例 11 ( ) , ,0 00fx ??? ??證 明 ： 若 則 存 在 使 對 任( , ) ,00x x x ???何 有證 由右導(dǎo)數(shù)的定義 : ? ? ? ?00000 , ( , ) .f x f x x x xxx ?? ? ? ? ??0000( ) ( )( ) l i m 0 ,xxf x f xfxxx?? ??? ???與極限保號性，推知存在 0 , 使得 ?0( ) ( ) .f x f x? (9) 再由 ,得 于是 (9) 式成立 . 0xx? 0( ) ( ) 0 ,f x f x??根據(jù)例 11，可得如下重要定理： 設(shè)函數(shù) f 在點 x0 的某鄰域內(nèi)有定義 ,且在點 x0 可 定理 (費(fèi)馬定理 ) 導(dǎo) . 如果 x0 是 f 的極值點，則必有 .0)( 0 ?? xf0 0 0( ) ( ) , ( , ) .f x f x x x x?? ? ? ?使得 類似地，若 0( ) 0 , 0 ,fx ??? ??則存在上述定理的幾何意義：如果 f 在極值 x ? x0 處 可 導(dǎo)，則該點處的切線平行于 x 軸 . xyo)( xfy ?a b1? 2?ba幾何解釋 : .0位于水平位置的那一點續(xù)滑動時，就必然經(jīng)過，當(dāng)切線沿曲線連率為顯然有水平切線，其斜曲線在最高點和最低點證 達(dá)到最大值證明。0,0 )()( 00 時當(dāng)從而 ???? xx xfxxf DDD。因提出費(fèi)馬大、小定理而著于世。 1842年 8月 14日生于尼姆，1917年 2月 23日卒于巴黎。1867年在中學(xué)任教， 1872年在巴黎高等師范學(xué)校任教， 1881年 4月任巴黎大學(xué)理學(xué)院高等幾何學(xué)教授， 1889～ 1903年任理學(xué)院院長，后任名譽(yù)院長。 1884年當(dāng)選為法國科學(xué)院院士， 1900年任科學(xué)院幾何學(xué)部終身秘書。他早年研究三重正交系理論，后研究測地線、曲面的可映射性及曲面變形。他的主要成就總結(jié)于 《 曲面一般理論講義 》 （ 4卷）和 《 正交系講義 》 之中。在一階偏微分方程的奇解理論上和黎曼積分理論的發(fā)展上也作出重大貢獻(xiàn)。 2 求導(dǎo)法則 導(dǎo)數(shù)很有用 ， 但全憑定義來計算導(dǎo) 四、基本求導(dǎo)法則與公式 三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 求導(dǎo)法則 , 使導(dǎo)數(shù)運(yùn)算變得較為簡便 . 數(shù)是不方便的 .為此要建立一些有效的 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 0 00( ( ) ( ) ) ( ) ( ) . ( 1 )xxu x v x u x v x?? ? ?? ? ?在點 x0 也可導(dǎo) , 且 ( ) ( ) ( )f x u x v x??0 0 0 0 0( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 2 )xxu x v x u x v x u x v x?? ? ???推論 若 u (x) 在點 x0 可導(dǎo) ,c 是常數(shù) ， 則 在點 x0 也可導(dǎo) , 且 ( ) ( ) ( )f x u x v x?定理 若函數(shù) 在點 x0 可導(dǎo) , 則函數(shù) ( ), ( )u x v x定理 若函數(shù) 在點 x0 可導(dǎo) , 則函數(shù) ( ), ( )u x v x( ( ) ) ( ) . ( )0 0 3xxc u x c u x??? ?( ) .uv w u v w uv w uv w? ? ? ?? ? ?定理 可推廣到任意有限個函數(shù)相乘的情形 , 如 下面證明乘積公式 (2), 請自行證明公式 (1) . ( ) ( ) ( ) ( )( ) l im 0 0 0 00 Δ 0Δ ΔΔxu x x v x x u x v xfxx?? ? ?? ?0 0 0 0Δ 0( Δ )( Δ ) ( ) ( Δ )limΔxu x x v x x u x v x xx?? ? ? ? ???? 證 (2) 按定義可得 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x v x x u x v xxDD??????0000( ) ( )l i m ( )xu x x u x v x xxDD DD?????注意 : ,千萬不要把導(dǎo)數(shù)乘積公式 (2) ()u v u v? ? ??? 記錯了 . 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .u x v x u x v x????0000( ) ( )li m ( )xv x x v xuxxDDD????例 1 10 1 1( ) .nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?求 的導(dǎo)數(shù)10 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?nn nnf x a x a x a x a解 因此 , 對于多項式 f 而言 , 總是比 f 低一個冪次 . f?例 2 s in ln .y x x x??求 在 處 的 導(dǎo) 數(shù)π解 由公式 (2)，得 120 1 1( 1 ) .?? ?? ? ? ? ?nn nn a x n a x al n .xy ? ??? ??1( sin ) ln sin ( ln ) c o s ln sin ,y x x x x x x xx? ? ?? ? ? ?00 0 0 020( ) ( ) ( ) ( )(). ( 4 )() ()xxu x v x u x v xuxvx vx?? ???? ?????? 在點 x0 也可導(dǎo) ， 且 ()() ()uxfx vx?則定理 若函數(shù) 在點 x0 可導(dǎo) , ( ), ( )u x v x 0( ) 0 ,vx ?證 1( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ,()g x f x u x g x g xvx??設(shè) ，則 對 有0 00011( Δ) ()( Δ ) ( )ΔΔv x x vxg x x g xxx?????0000( Δ ) ( ) 1 .Δ ( Δ ) ( )v x x v xx v x x v x??? ? ???由于 在點 x0 可導(dǎo) , 因此 0( ) 0 ,vx ?()vx對 應(yīng)用公式 (2) 和 (5), 得 ( ) ( ) ( )f x u x g x?0 0 00 200( ) ( ) ( )( ) l i m ,()xg x x g x v xgxx vxD ????? ? ? ?ΔΔ0020()1.() ()xxvxvx vx?? ?????????亦即 (5) 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,f x u x g x u x g x? ? ???00 0 0 020( ) ( ) ( ) ( )().() ()xxu x v x u x v xuxvx vx?? ???? ??????即例 3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 22 222c os si n 1 se c .c os c osxx xxx?? ? ?( i ) , 。xx( iii ) s e c , c s c .xx解 1121( i ) ( ) .nnnnnnxx n xxx?? ? ????? ? ? ? ? ?????2sin ( sin ) c os sin ( c os )( ii ) ( t an )c os c osx x x x xxx x? ?? ???? ??????同理可得 s e c t a n .xx?221 ( c os ) sin( iii ) ( se c )c os c os c osxxxx xx? ???? ? ? ? ?????( c s c ) c s c