第2章導數(shù)與微分-文庫吧在線文庫
【正文】 線的斜率 . 0x) ) .(,( 000 xfxMx?y?xy??xx ??0M0 M 0x xx ??0前頁 結束 后頁 曲線 y = f (x)在點 M0處的切線即為割線 M0M當 M沿曲 線 y=f(x)無限接近 時的極限位置 M0P， 因而當 時，割線斜率的極限值就是切線的斜率 .即： 0xD ?0 0( ) lim lim t a n t a nxyf x kx ?? ??? ? ??? ? ? ? ??所以，導數(shù) 的幾何意義是曲線 y = f (x) 在點 M0(x0,f(x0))處的切線斜率 . )( 0xf ?M0 M 0x xx ??0P0M? ?前頁 結束 后頁 設函數(shù) y=f(x)在點處可導，則曲線 y=f(x)在點處的切線方程為： 而當 時 ,曲線 在 的切線方程為 0001( ) ( ) .()y f x x xfx? ? ? ??0xx?(即法線平行 y軸 ). 0xx?0 0 0( ) ( ) ( ) .y f x f x x x?? ? ?當 時 ,曲線 在 的法線方程為 0( ) 0fx? ? ()fx 0M而當 時 ,曲線 在 的法線方程為 0( ) 0fx? ? ()fx 0M0()fx? ?? ()fx 0M前頁 結束 后頁 例 3 求函數(shù) 的導數(shù) 解 : (1)求增量 : (2)算比值 : (3)取極限 : 同理可得 : 特別地 , . 2xy ?( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ?2 2 2( ) 2 ( )x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?xxxy ????? 2xxxxyyxx2)2(limlim00????????????為正整數(shù)）nnxx nn ()( 1???11( ) ( )xn? ??前頁 結束 后頁 例 4 求曲線 在點 處的切線與法線方程 . 解 :因為 ,由導數(shù)幾何意義 ,曲線 在點 的切線與法線的斜率分別為 : 于是所求的切線方程為 : 即 法線方程為 : 3xy ? )8,2(23 3)( xx ??3xy ?)8,2(1211,12)3(122221 ???????? ?? kkxyk xx)2(128 ??? xy01612 ??? yx)2(1218 ???? xy即 09812 ??? yx前頁 結束 后頁 可導性與連續(xù)性的關系 定理 2 若函數(shù) y = f (x)在點 x0處可導， 則 f(x)在點 x0 處連續(xù) . 證 因為 f (x)在點 x0處可導，故有 0 0( ) lim .xyfxx???? ??根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關系 ,可得 : 0 0( ) l i m 0 .xy fxx ?? ??? ?? ? ?? ， 其 中兩端乘以 得 : 0()y f x x x??? ? ? ? ? ? ?x?由此可見 : 000li m li m ( ( ) ) 0 .xx y f x x x?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?即函數(shù) y = f (x)在點 x0 處連續(xù) .證畢 . 前頁 結束 后頁 例 5 證明函數(shù) 在 x=0處連續(xù)但不可導 . ||yx?證 因為 0li m | | 0x x? ?所以 在 x =0連續(xù) ||yx?00( 0) l i m l i m 1xxyxfxx??? ? ? ? ???? ???1limlim)0(00?????????? ??????? xxxyfxx而 即函數(shù) 在 x=0處左右導數(shù)不相等 ,從而在 ||yx? x=0不可導 . 由此可見，函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可 導的必要條件，但不是充分條件 即可導定連續(xù) ,連續(xù)不一定可導 . 前頁 結束 后頁 設函數(shù) u(x)與 v(x) 在點 x處均可導，則 : 定理一 ( 1 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) 。 ??? 或或或.)()(limlim)( 00000 xxfxxfxyxf39。uv v u u v??d ( ) dC u C u? （ C 為常數(shù)）； 2ddd u v u u vv v??? ?????0( ).v ?前頁 結束 后頁 3．復合函數(shù)的微分法則 都是可導函數(shù)，則 ( ) ( )y f u u x???，設函數(shù) 的微分為 )]([ xfy ??復合函數(shù) ? ?? ?d ( ) d ( ) ( ) dxy f x x f u x x??? ???? 利用微分形式不變性，可以計算復合函數(shù)和隱 函數(shù)的微分 . 這就是一階微分形式不變性 . 可見，若 y=f(u)可微，不論 u是自變量還是中間變量， d ( ) dy f u u??總有 而 d ( ) du x x? ?? uufy d)(d ??于是前頁 結束 后頁 解： )32(3221)32( 222 ??????? xxxxydd2326xx??26d d .23xyxx??解：對方程兩邊求導，得 04222 ?????? yyyxyx)( xfy ?dy的導數(shù) ddyx與微分 例 5 求由方程 122 22 ??? yxyx 所確定的隱
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