第2章導(dǎo)數(shù)與微分-全文預(yù)覽
【正文】 n (???? x解： )( s in ??? xy xcos?)2s i n ( ??? x??????? ?????? )22s i n ( ?xy )23s i n ( ???? x…… )2s i n ()( ???? nxy n即 ()( s i n ) s i n ( )2nx x n ?? ? ?同理 ()( c o s ) c o s ( )2nx x n ?? ? ?)(, nx yay 求設(shè) ?例 14 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 解 如圖，正方形金屬片的面 積 A 與邊長(zhǎng) x 的函數(shù)關(guān) 系 為 A = x2 , 受熱后當(dāng)邊長(zhǎng)由 x0伸長(zhǎng)到 x0+ 時(shí) , 面積 A 相應(yīng)的增量為 x? 微分的概念 例 1 設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為 x0的正方形金屬片，受熱后它的 邊長(zhǎng)伸長(zhǎng)了 ，問(wèn)其面積增加了多少？ x?202020 )(2)( xxxxxxA ????????? 微分 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 的線(xiàn)性函數(shù) 同階的無(wú)窮??；時(shí)與是當(dāng) xxxx ???? 0,20從上式可以看出， xA ?? 是分成兩部分：第一部分 xA ?? 是分成兩部分：第一部分高階的無(wú)窮小。xf39。 若上式的 極限存在，記為 k，則此極限值 k就是所求切線(xiàn) MT的斜率，即 xxfxxfxykxxx????????????????)()(limlimt anlimt an00000 θ? ?0??xyxO()y f x?? ?MNTx?0x xx ??0y?P前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 定義 設(shè) y=f(x)在點(diǎn) x0的某鄰域內(nèi)有定義， 屬于該鄰域，記 若 存在，則稱(chēng)其極限值為 y = f (x)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)，記為 xx ??0),()( 00 xfxxfy ?????????? xyx 0lim x xfxxfx ??????)()(lim 000.|dd,|dd,|)( 0000 xxxxxx xfxyy39。u x v x u x v x? ? ?? ? ?( 2 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ,u x v x u x v x u x v x? ? ???uCCuCCxv ???? ) (,()(, 則為常數(shù)）特別地2)]([)()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu ???????????( ) 1 ,ux ? 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 求導(dǎo)法則 特別地 ,如果 可得公式 21 ( ) ( ( ) 0 )( ) [ ( ) ]vx vxv x v x? ??? ???????前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) wvuwvu ????????? )(注：法則（ 1）（ 2）均可推廣到有限 多個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形 wuvwvuvwuu v w ???????)(例：設(shè) u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點(diǎn) x處均 可導(dǎo)，則 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) )3lns i n( 3 ?????? xexy x解： )3( l n)( s i n)()( 3 ???????? xex xxex x c o s3 2 ???例 2 設(shè) 5 2 ,xy x y ?? 求)(52)(5 ???? xx 2xx解： )25( ??? xxy2ln25225 xx xx???yxexy x ????? ，求設(shè) 3lns i n3例 1 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) )( t a n ??? xy )c o ss in( ??xx解： xxxxx2c o s)( c o ss i nc o s)( s i n ????xxx222c o ss i nc o s ?? xx22 s e cc o s1 ??即 2( t a n ) s e cxx? ?2( c o t ) c s cxx? ??類(lèi)似可得 例 3 求 y = tanx 的導(dǎo)數(shù) 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) )c o s1( ??xxx2c o ss in?)( s e c ??? xy解： xxt a nc o s1 ??xx t a ns e c ??即 ( s e c ) s e c t a nx x x? ??( c s c ) c s c c o tx x x? ? ? ?類(lèi)似可得 例 4 求 y = secx 的導(dǎo)數(shù) 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 定理二 )( xu ??如果函數(shù) 在 x處可導(dǎo)，而函數(shù) y=f(u)在對(duì)應(yīng)的 u處可導(dǎo)， 那么復(fù)合函數(shù) )]([ xfy ?? 在 x處可導(dǎo)，且有 d y d y d ud x d u d x??或 x u xy y u? ? ???對(duì)于多次復(fù)合的函數(shù)，其求導(dǎo)公式類(lèi)似，此法則也稱(chēng)鏈導(dǎo)法 注： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) xu xuy )1()( s i n 2 ?????xu 2c o s ?? )1c o s (2 2xx ??例 7 yxy ??? 求,2lns i n 222lnc o s22???xxxxxxxy 2221212lnc o s222 ????????解： 解： 復(fù)合而成可看作 22 1,s i n)1s i n ( xuuyxy ?????yxy ??? 求),1s i n ( 2例 6 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 定理三 ,0)( ?? y?且)( yx ??如果單調(diào)連續(xù)函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 則它的反函數(shù) y=f(x)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，且有 1dy dxdydx ?1()()fx y?? ? ?或 證 因?yàn)? 的反函數(shù) ( ) ( )y f x x y???是( ) [ ( ) ]x y f x
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