全微分、方向?qū)?shù)、梯度-文庫(kù)吧
2025-08-01 01:37 本頁(yè)面
【正文】 微與可導(dǎo)的關(guān)系 (可微的必要條件 ) 可微： ???? xaz ??yb )o(22 yx ???定理 則其兩個(gè)處可微在點(diǎn)若 , ),( ),( yxPyxfz ? , , 且均存在偏導(dǎo)數(shù) yzxz ???? . d d d yyzxxzz ??????若函數(shù)可微 , 則 )o( 22 yxybxaz ????????? ,0 , , 則取的任意性由 ???? yyx) || o( xxazz x ???????ax xxax zyxxyx?? ??????????????|)o ( |limlim0000即 , axz ??? 同理 , 取 , ,0 byzx ????? 得證 . )d ,d( , d d d yyxxyyzxxzz ??????????故可微 連續(xù) 可導(dǎo) 在多元函數(shù)中 , 可微 可偏導(dǎo) 可微 連續(xù) 可導(dǎo) 在多元函數(shù)中 , 可微 可偏導(dǎo) 在多元函數(shù)中 ,可偏導(dǎo) 可微 ? 函數(shù) ?),( yxf易知 ,0)0,0()0,0( ?? yx ff 但 ])0,0()0,0([ yfxfz yx ?????因此 ,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 . )(?o?注意 : 22 )()( yxyx??????22 )()( yxyx??????0偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 ! 0, 2222 ??? yxyx yx0,0 22 ?? yx 例 1 ?),( yxf函數(shù)0 2222 ??? yxyx xy0 0 22 ?? yx 例 1 在點(diǎn) (0, 0) 處連續(xù) , 且有有界的偏導(dǎo)數(shù) , 但不可微 . 該例留給學(xué)生課后研討 參考書(shū)： 《 高等數(shù)學(xué)中的反例 》 朱 勇等編 華中工學(xué)院出版社 1986年 p 120~130 逆命題 ? 可 微 連續(xù) 可導(dǎo) 連 續(xù) 可 導(dǎo) 連續(xù)可導(dǎo) Ok 二元函數(shù)可微的充分條件 定理 . , )),U ( ( ),( 00 可偏導(dǎo)內(nèi)有定義在設(shè) yxyxfz ? ),( , ),( z , z 00 在則函數(shù)處連續(xù)在點(diǎn)若 yxfyxyx ???? . ),( 00 處可微點(diǎn) yx利用微分中值定理 ))(,(),(),( 0100 xxyfyxfyxf x ???? ? , ))(,( 020 yyxf y ??? ?yy yxfxx yxfz ????????? ),( ),( 0000 . )o( 22 yx ????由偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性 , ),( ),(lim 00100 xyxfxyfyyxx ????????要證明函數(shù) f ( x , y ) 在點(diǎn) 處可微 , 即要證 ),( 00 yx證 故 同理 , ),( ),( 0020 ?? ?????? y yxfyxf , ),( ),( 001 ?? ?????? x yxfx yf其中 ??, 為該極限過(guò)程中的無(wú)窮小量 . 從而 , 函數(shù)的全增量 yy yxfxx yxfz ????????? ),( ),( 0000 , )o( yx ???? ??又 22 0 yx yx ??? ???? ?? , 0|||| ??? ?? , )o( 22 yx ?? ??即函數(shù) f ( x , y ) 在點(diǎn) 處可微 . ),( 00 yx故由夾逼定理 ,得 yy yxfxx yxfz ??? ),( ),( 0000 ??????如果函數(shù) )( Xfz ? 在區(qū)域 ? 中 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) xz?? 和 yz??, 則稱函數(shù) .)()( 1 ?? CXf)( Xf 為區(qū)域 1C? 中的 類函數(shù) , 記為 當(dāng)不強(qiáng)調(diào)區(qū)域時(shí) , 記為 .)( 1CXf ?多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系 函數(shù)可微 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 函數(shù)連續(xù) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在例 2 試證函數(shù)?????????)0,0(),(,0)
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